题目
一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已经通过验收。求其中确实没有次品的概率是多少？
一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已经通过验收。求其中确实没有次品的概率是多少？
题目解答
答案
设$$A_i=$${100件中有 i 件次品}，$$i=0,1,2$$，X表示10件中的次品数，B={通过验收}
若$$A_0$$发生，通过验收的概率为1
若$$A_1$$发生，X服从$$B(10，\frac{1}{100})$$，
通过验收的概率为：$$P(X=0)=0.99^{10}=0.904$$
若$$A_2$$发生，X服从$$B(10，\frac{1}{50})$$，
通过验收的概率为：$$P(X=0)=0.98^{10}=0.817$$
现已知$$A_0,A_1,A_2$$概率相同，均为$$\frac{1}{3}$$，由全概率公式，通过验收的概率为：
$$P(B)=\frac{1}{3}\times 1+\frac{1}{3}\times 0.904+\frac{1}{3}\times 0.817=0.907$$
由贝叶斯公式，此时确实没有次品的概率为：
$$P(A_0|B)= \frac{\frac{1}{3}\times 1}{0.907}=0.3675$$
解析
步骤 1：定义事件
设$$A_i=$${100件中有 i 件次品}，$$i=0,1,2$$，X表示10件中的次品数，B={通过验收}。
步骤 2：计算通过验收的概率
- 若$$A_0$$发生，即箱中没有次品，通过验收的概率为1。
- 若$$A_1$$发生，即箱中有1件次品，X服从$$B(10，\frac{1}{100})$$，通过验收的概率为：$$P(X=0)=0.99^{10}=0.904$$。
- 若$$A_2$$发生，即箱中有2件次品，X服从$$B(10，\frac{1}{50})$$，通过验收的概率为：$$P(X=0)=0.98^{10}=0.817$$。
步骤 3：计算通过验收的总概率
由于$$A_0,A_1,A_2$$概率相同，均为$$\frac{1}{3}$$，由全概率公式，通过验收的概率为：
$$P(B)=\frac{1}{3}\times 1+\frac{1}{3}\times 0.904+\frac{1}{3}\times 0.817=0.907$$。
步骤 4：计算确实没有次品的条件概率
由贝叶斯公式，此时确实没有次品的概率为：
$$P(A_0|B)= \frac{\frac{1}{3}\times 1}{0.907}=0.3675$$。
设$$A_i=$${100件中有 i 件次品}，$$i=0,1,2$$，X表示10件中的次品数，B={通过验收}。
步骤 2：计算通过验收的概率
- 若$$A_0$$发生，即箱中没有次品，通过验收的概率为1。
- 若$$A_1$$发生，即箱中有1件次品，X服从$$B(10，\frac{1}{100})$$，通过验收的概率为：$$P(X=0)=0.99^{10}=0.904$$。
- 若$$A_2$$发生，即箱中有2件次品，X服从$$B(10，\frac{1}{50})$$，通过验收的概率为：$$P(X=0)=0.98^{10}=0.817$$。
步骤 3：计算通过验收的总概率
由于$$A_0,A_1,A_2$$概率相同，均为$$\frac{1}{3}$$，由全概率公式，通过验收的概率为：
$$P(B)=\frac{1}{3}\times 1+\frac{1}{3}\times 0.904+\frac{1}{3}\times 0.817=0.907$$。
步骤 4：计算确实没有次品的条件概率
由贝叶斯公式，此时确实没有次品的概率为：
$$P(A_0|B)= \frac{\frac{1}{3}\times 1}{0.907}=0.3675$$。