设 X_1, X_2, X_3 是来自均值为 theta 的指数分布总体的样本，theta 未知，则 theta 的以下无偏估计量中(）较为有效。A. (1)/(2) X_1 + (1)/(4) X_2 + (1)/(4) X_3B. (1)/(6) X_1 + (2)/(3) X_2 + (1)/(6) X_3C. (3)/(8) X_1 + (1)/(2) X_2 + (1)/(8) X_3D. (7X_1 - X_2 + X_3)/ 7

考查要点：本题主要考查无偏估计量的有效性比较，即通过计算各估计量的方差，选择方差最小的作为最优解。

解题核心思路：

1. 无偏性验证：所有选项均为线性组合，需验证系数和是否为1，确保无偏性。
2. 方差计算：指数分布的方差为$\theta^2$，线性组合的方差为各系数平方和乘以$\theta^2$。
3. 比较方差：方差最小的估计量最有效。

破题关键点：

• 系数和为1是无偏性的必要条件。
• 方差公式：线性组合方差为$\sum a_i^2 \cdot \theta^2$，需准确计算各选项的系数平方和。

无偏性验证

所有选项均为$X_1, X_2, X_3$的线性组合，且系数和均为1，因此均为$\theta$的无偏估计量。

方差计算

指数分布的方差为$\theta^2$，线性组合的方差为各系数平方和乘以$\theta^2$：

• 选项A：$\left(\frac{1}{2}^2 + \frac{1}{4}^2 + \frac{1}{4}^2\right)\theta^2 = \frac{3}{8}\theta^2$
• 选项B：$\left(\frac{1}{6}^2 + \frac{2}{3}^2 + \frac{1}{6}^2\right)\theta^2 = \frac{1}{2}\theta^2$
• 选项C：$\left(\frac{3}{8}^2 + \frac{1}{2}^2 + \frac{1}{8}^2\right)\theta^2 = \frac{13}{32}\theta^2$
• 选项D：$\left(1^2 + \left(-\frac{1}{7}\right)^2 + \frac{1}{7}^2\right)\theta^2 = \frac{51}{49}\theta^2$

方差比较

$\frac{3}{8} < \frac{1}{2} < \frac{13}{32} < \frac{51}{49}$，故选项A方差最小，最有效。