设总体X:B(m,p)，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的样本，则未知参数p的极大似然估计量为（）. A. overline(X) B. (overline(X))/(m) C. overline(X)-1 D. (overline(X)-1)/(m)

考查要点：本题主要考查二项分布参数的极大似然估计方法，需要掌握极大似然估计的基本步骤，以及二项分布的期望性质。

解题核心思路：

1. 极大似然估计的关键是构造似然函数，通过对数转换和求导找到使概率最大的参数值。
2. 对于二项分布$B(m,p)$，其期望为$E(X) = mp$，可用样本均值$\overline{X}$估计期望，从而快速得到$p$的估计量。

破题关键点：

• 似然函数的构造：将独立样本的概率相乘，忽略常数项后简化表达式。
• 对数似然函数的求导：通过求导并令导数为零，解方程得到$p$的估计值。
• 利用期望性质：直接通过$E(X) = mp$，用样本均值$\overline{X}$代入求解。

极大似然估计推导

1. 构造似然函数
   样本$X_1, X_2, \dots, X_n$来自$B(m,p)$，每个样本的概率为：
   $P(X_i = x_i) = \binom{m}{x_i} p^{x_i} (1-p)^{m - x_i}$
   似然函数为：
   $L(p) = \prod_{i=1}^n \binom{m}{x_i} p^{x_i} (1-p)^{m - x_i}$
   忽略常数项$\binom{m}{x_i}$后，简化为：
   $L(p) \propto p^{\sum_{i=1}^n x_i} (1-p)^{nm - \sum_{i=1}^n x_i}$

2. 对数似然函数
   取自然对数：
   $\ln L(p) = \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \ln p + (nm - \sum_{i=1}^n x_i) \ln (1-p)$

3. 求导并解方程
   对$p$求导并令导数为零：
   $\frac{d \ln L(p)}{dp} = \frac{\sum x_i}{p} - \frac{nm - \sum x_i}{1-p} = 0$
   解得：
   $p = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{nm} = \frac{\overline{X}}{m}$

期望性质法

二项分布的期望为$E(X) = mp$，用样本均值$\overline{X}$估计期望：
$\overline{X} = mp \implies \hat{p} = \frac{\overline{X}}{m}$