设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(8)和 _(1),(X)_(2),... ,(X)_(8) 分别是来自独立总体 X 和 Y 的简单随机样本其中_(1),(X)_(2),... ,(X)_(8)则_(1),(X)_(2),... ,(X)_(8)

考查要点：本题主要考查样本均值的分布、独立正态变量的线性组合以及标准正态分布绝对值的期望的计算。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：根据正态总体的性质，样本均值$\overline{X}$和$\overline{Y}$分别服从正态分布，计算其均值和方差。
2. 求差的分布：利用独立正态变量的性质，确定$\overline{X} - \overline{Y}$的分布。
3. 计算绝对值期望：将问题转化为标准正态分布下$E(|Z|)$的计算，利用积分公式或已知结果求解。

破题关键点：

• 样本均值的方差计算：注意样本容量对总体方差的影响。
• 独立变量差的方差叠加：独立变量的方差可直接相加。
• 标准正态分布绝对值的期望公式：直接应用已知结果$E(|Z|) = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$。

步骤1：确定样本均值的分布

• $X \sim N(0,4)$，样本容量$n=8$，则$\overline{X} \sim N\left(0, \dfrac{4}{8}\right) = N\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$。
• $Y \sim N(0,7)$，样本容量$m=14$，则$\overline{Y} \sim N\left(0, \dfrac{7}{14}\right) = N\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$。

步骤2：求$\overline{X} - \overline{Y}$的分布

• $\overline{X}$与$\overline{Y}$独立，故$\overline{X} - \overline{Y} \sim N\left(0 - 0, \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right) = N(0,1)$。

步骤3：计算$E(|\overline{X} - \overline{Y}|)$

• 设$Z = \overline{X} - \overline{Y} \sim N(0,1)$，则$E(|Z|) = \dfrac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} x e^{-x^2/2} dx = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$。