题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，EX = -1，EX^2 = 4，则 overline(X) 服从(）分布。 A. N(-(1)/(n), 4)B. N(-(1)/(n), (3)/(n))C. N(-1, (3)/(n))D. N(-1, (4)/(n))
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$EX = -1$，$EX^2 = 4$，则 $\overline{X}$ 服从(）分布。
- A. $N\left(-\frac{1}{n}, 4\right)$
- B. $N\left(-\frac{1}{n}, \frac{3}{n}\right)$
- C. $N(-1, \frac{3}{n})$
- D. $N(-1, \frac{4}{n})$
题目解答
答案
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $EX = -1$，$EX^2 = 4$。
计算方差：
\[
\sigma^2 = EX^2 - (EX)^2 = 4 - (-1)^2 = 3
\]
样本均值 $\bar{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即：
\[
\bar{X} \sim N\left(-1, \frac{3}{n}\right)
\]
**答案：**
\[
\boxed{C}
\]
解析
步骤 1：计算总体方差
根据已知条件 $EX = -1$ 和 $EX^2 = 4$，可以计算总体方差 $\sigma^2$。方差的定义为： \[ \sigma^2 = EX^2 - (EX)^2 \] 将已知条件代入： \[ \sigma^2 = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 \]
步骤 2：确定样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，其中 $\mu$ 是总体均值，$\sigma^2$ 是总体方差，$n$ 是样本容量。根据已知条件，总体均值 $\mu = -1$，总体方差 $\sigma^2 = 3$，因此样本均值 $\overline{X}$ 的分布为： \[ \overline{X} \sim N\left(-1, \frac{3}{n}\right) \]
根据已知条件 $EX = -1$ 和 $EX^2 = 4$，可以计算总体方差 $\sigma^2$。方差的定义为： \[ \sigma^2 = EX^2 - (EX)^2 \] 将已知条件代入： \[ \sigma^2 = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 \]
步骤 2：确定样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，其中 $\mu$ 是总体均值，$\sigma^2$ 是总体方差，$n$ 是样本容量。根据已知条件，总体均值 $\mu = -1$，总体方差 $\sigma^2 = 3$，因此样本均值 $\overline{X}$ 的分布为： \[ \overline{X} \sim N\left(-1, \frac{3}{n}\right) \]