题目
2.3 为了合理调配电力资源，某市欲了解50000居民的日用电量，从中简单随机抽取了300户进行调查，现得到样本住户日用电量的平均值为overline(y)=9.5（千瓦时），s^2=206。试估计该市居民日用电量的95%的置信区间。如果希望相对误差限度不超过10%，则样本量至少应为多少？
2.3 为了合理调配电力资源，某市欲了解50000居民的日用电量，从中简单随机抽取了300户进行调查，现得到样本住户日用电量的平均值为$\overline{y}=9.5$（千瓦时），$s^{2}=206$。试估计该市居民日用电量的95%的置信区间。如果希望相对误差限度不超过10%，则样本量至少应为多少？
题目解答
答案
1. **计算总体均值的方差估计：**
\[
V(\overline{y}) = \frac{1 - \frac{300}{50000}}{300} \times 206 \approx 0.6825
\]
2. **计算95%置信区间：**
\[
\overline{y} \pm 1.96 \sqrt{V(\overline{y})} \approx 9.5 \pm 1.62 \Rightarrow (7.88, 11.12)
\]
3. **确定满足相对误差10%的样本量：**
\[
n \geq \frac{N \cdot u_{0.025}^2 \cdot s^2}{\overline{y}^2 \cdot r^2 + u_{0.025}^2 \cdot s^2} \approx 862
\]
**答案：**
95%置信区间：$\boxed{(7.88, 11.12)}$（千瓦时）
最小样本量：$\boxed{862}$
解析
步骤 1：计算总体均值的方差估计
根据题目给出的样本数据，样本量为300，样本均值为$\overline{y}=9.5$（千瓦时），样本方差为$s^{2}=206$。总体均值的方差估计公式为：
\[ V(\overline{y}) = \frac{1 - \frac{n}{N}}{n} \times s^{2} \]
其中，$n$为样本量，$N$为总体量。将已知数值代入公式，得到：
\[ V(\overline{y}) = \frac{1 - \frac{300}{50000}}{300} \times 206 \approx 0.6825 \]
步骤 2：计算95%置信区间
根据总体均值的方差估计，可以计算出95%置信区间的上下限。置信区间的计算公式为：
\[ \overline{y} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{V(\overline{y})} \]
其中，$z_{\alpha/2}$为标准正态分布的分位数，对于95%置信区间，$z_{\alpha/2}=1.96$。将已知数值代入公式，得到：
\[ 9.5 \pm 1.96 \sqrt{0.6825} \approx 9.5 \pm 1.62 \Rightarrow (7.88, 11.12) \]
步骤 3：确定满足相对误差10%的样本量
相对误差的计算公式为：
\[ r = \frac{z_{\alpha/2} \sqrt{V(\overline{y})}}{\overline{y}} \]
根据题目要求，相对误差不超过10%，即$r \leq 0.1$。将已知数值代入公式，得到：
\[ 0.1 = \frac{1.96 \sqrt{V(\overline{y})}}{9.5} \]
解得：
\[ V(\overline{y}) = \frac{0.1^2 \times 9.5^2}{1.96^2} \approx 0.234 \]
根据总体均值的方差估计公式，可以计算出满足相对误差10%的样本量。样本量的计算公式为：
\[ n \geq \frac{N \cdot z_{\alpha/2}^2 \cdot s^2}{\overline{y}^2 \cdot r^2 + z_{\alpha/2}^2 \cdot s^2} \]
将已知数值代入公式，得到：
\[ n \geq \frac{50000 \cdot 1.96^2 \cdot 206}{9.5^2 \cdot 0.1^2 + 1.96^2 \cdot 206} \approx 862 \]
根据题目给出的样本数据，样本量为300，样本均值为$\overline{y}=9.5$（千瓦时），样本方差为$s^{2}=206$。总体均值的方差估计公式为：
\[ V(\overline{y}) = \frac{1 - \frac{n}{N}}{n} \times s^{2} \]
其中，$n$为样本量，$N$为总体量。将已知数值代入公式，得到：
\[ V(\overline{y}) = \frac{1 - \frac{300}{50000}}{300} \times 206 \approx 0.6825 \]
步骤 2：计算95%置信区间
根据总体均值的方差估计，可以计算出95%置信区间的上下限。置信区间的计算公式为：
\[ \overline{y} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{V(\overline{y})} \]
其中，$z_{\alpha/2}$为标准正态分布的分位数，对于95%置信区间，$z_{\alpha/2}=1.96$。将已知数值代入公式，得到：
\[ 9.5 \pm 1.96 \sqrt{0.6825} \approx 9.5 \pm 1.62 \Rightarrow (7.88, 11.12) \]
步骤 3：确定满足相对误差10%的样本量
相对误差的计算公式为：
\[ r = \frac{z_{\alpha/2} \sqrt{V(\overline{y})}}{\overline{y}} \]
根据题目要求，相对误差不超过10%，即$r \leq 0.1$。将已知数值代入公式，得到：
\[ 0.1 = \frac{1.96 \sqrt{V(\overline{y})}}{9.5} \]
解得：
\[ V(\overline{y}) = \frac{0.1^2 \times 9.5^2}{1.96^2} \approx 0.234 \]
根据总体均值的方差估计公式，可以计算出满足相对误差10%的样本量。样本量的计算公式为：
\[ n \geq \frac{N \cdot z_{\alpha/2}^2 \cdot s^2}{\overline{y}^2 \cdot r^2 + z_{\alpha/2}^2 \cdot s^2} \]
将已知数值代入公式，得到：
\[ n \geq \frac{50000 \cdot 1.96^2 \cdot 206}{9.5^2 \cdot 0.1^2 + 1.96^2 \cdot 206} \approx 862 \]