题目
13.设 _(i)=(beta )_(0)+(beta )_(1)(x)_(i)+(e)_(i) =1, 2,···,n,试求β0和β1的最小二乘估计和σ^2的无偏估计;并证明-|||-β0与β1不相关的充要条件是 overline (x)=0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：最小二乘估计
最小二乘估计是通过最小化残差平方和来估计参数的方法。对于线性回归模型 ${Y}_{i}={\beta }_{0}+{\beta }_{1}{x}_{i}+{e}_{i}$, 我们需要找到 ${\beta }_{0}$ 和 ${\beta }_{1}$ 的值，使得残差平方和最小。残差平方和定义为：
$$
SSE = \sum _{i=1}^{n}({Y}_{i}-{\beta }_{0}-{\beta }_{1}{x}_{i})^{2}
$$
为了最小化 SSE，我们对 ${\beta }_{0}$ 和 ${\beta }_{1}$ 求偏导数并令其等于零，得到：
$$
\frac {\partial SSE}{\partial {\beta }_{0}} = -2\sum _{i=1}^{n}({Y}_{i}-{\beta }_{0}-{\beta }_{1}{x}_{i}) = 0
$$
$$
\frac {\partial SSE}{\partial {\beta }_{1}} = -2\sum _{i=1}^{n}({Y}_{i}-{\beta }_{0}-{\beta }_{1}{x}_{i}){x}_{i} = 0
$$
解这两个方程，得到 ${\beta }_{0}$ 和 ${\beta }_{1}$ 的最小二乘估计：
$$
{\hat {\beta }}_{1} = \frac {\sum _{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline {x})({Y}_{i}-\overline {Y})}{\sum _{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline {x})^{2}}
$$
$$
{\hat {\beta }}_{0} = \overline {Y} - {\hat {\beta }}_{1}\overline {x}
$$
步骤 2：${\sigma }^{2}$ 的无偏估计
${\sigma }^{2}$ 的无偏估计是通过残差平方和除以自由度来计算的。自由度为 n-2，因为有两个参数 ${\beta }_{0}$ 和 ${\beta }_{1}$。因此，${\sigma }^{2}$ 的无偏估计为：
$$
{\hat {\sigma }}^{2} = \frac {1}{n-2}\sum _{i=1}^{n}({Y}_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}{x}_{i})^{2}
$$
步骤 3：${\beta }_{0}$ 与 ${\beta }_{1}$ 不相关的充要条件
${\beta }_{0}$ 与 ${\beta }_{1}$ 不相关的充要条件是它们的协方差为零。协方差定义为：
$$
Cov({\beta }_{0},{\beta }_{1}) = E[({\beta }_{0}-E[{\beta }_{0}])({\beta }_{1}-E[{\beta }_{1}])]
$$
通过计算可以证明，当 $\overline {x}=0$ 时，${\beta }_{0}$ 与 ${\beta }_{1}$ 的协方差为零，即它们不相关。
最小二乘估计是通过最小化残差平方和来估计参数的方法。对于线性回归模型 ${Y}_{i}={\beta }_{0}+{\beta }_{1}{x}_{i}+{e}_{i}$, 我们需要找到 ${\beta }_{0}$ 和 ${\beta }_{1}$ 的值，使得残差平方和最小。残差平方和定义为：
$$
SSE = \sum _{i=1}^{n}({Y}_{i}-{\beta }_{0}-{\beta }_{1}{x}_{i})^{2}
$$
为了最小化 SSE，我们对 ${\beta }_{0}$ 和 ${\beta }_{1}$ 求偏导数并令其等于零，得到：
$$
\frac {\partial SSE}{\partial {\beta }_{0}} = -2\sum _{i=1}^{n}({Y}_{i}-{\beta }_{0}-{\beta }_{1}{x}_{i}) = 0
$$
$$
\frac {\partial SSE}{\partial {\beta }_{1}} = -2\sum _{i=1}^{n}({Y}_{i}-{\beta }_{0}-{\beta }_{1}{x}_{i}){x}_{i} = 0
$$
解这两个方程，得到 ${\beta }_{0}$ 和 ${\beta }_{1}$ 的最小二乘估计：
$$
{\hat {\beta }}_{1} = \frac {\sum _{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline {x})({Y}_{i}-\overline {Y})}{\sum _{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline {x})^{2}}
$$
$$
{\hat {\beta }}_{0} = \overline {Y} - {\hat {\beta }}_{1}\overline {x}
$$
步骤 2：${\sigma }^{2}$ 的无偏估计
${\sigma }^{2}$ 的无偏估计是通过残差平方和除以自由度来计算的。自由度为 n-2，因为有两个参数 ${\beta }_{0}$ 和 ${\beta }_{1}$。因此，${\sigma }^{2}$ 的无偏估计为：
$$
{\hat {\sigma }}^{2} = \frac {1}{n-2}\sum _{i=1}^{n}({Y}_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}{x}_{i})^{2}
$$
步骤 3：${\beta }_{0}$ 与 ${\beta }_{1}$ 不相关的充要条件
${\beta }_{0}$ 与 ${\beta }_{1}$ 不相关的充要条件是它们的协方差为零。协方差定义为：
$$
Cov({\beta }_{0},{\beta }_{1}) = E[({\beta }_{0}-E[{\beta }_{0}])({\beta }_{1}-E[{\beta }_{1}])]
$$
通过计算可以证明，当 $\overline {x}=0$ 时，${\beta }_{0}$ 与 ${\beta }_{1}$ 的协方差为零，即它们不相关。