5.设X1,X2,X3,X4是总体 sim N(0,1) 的简单随机样本,则 =dfrac (sqrt {3)(X)_(1)}(sqrt {{{X)_(2)}^2+({X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2}} 服从__ _分-|||-__-|||-布.

考查要点：本题主要考查t分布的构造条件，涉及标准正态分布、卡方分布的性质以及独立随机变量的组合形式。

解题核心思路：

1. 识别分子和分母的结构：分子为标准正态变量的线性组合，分母为卡方变量的平方根形式。
2. 标准化处理：将分子转化为标准正态变量，分母转化为卡方变量除以自由度后的平方根。
3. 验证独立性：确认分子与分母对应的随机变量相互独立。

破题关键点：

• 分子部分：$\sqrt{3}X_1$ 可视为标准正态变量的缩放形式，需通过调整使其符合$t$分布的分子要求。
• 分母部分：$X_2^2 + X_3^2 + X_4^2$ 是自由度为3的卡方分布，需提取自由度因子使其符合$t$分布的分母形式。

步骤1：分析分子部分

• $X_1 \sim N(0,1)$，因此 $\sqrt{3}X_1 \sim N(0,3)$。
• 但$t$分布要求分子为标准正态变量，需将分子标准化：
  $\frac{\sqrt{3}X_1}{\sqrt{3}} = X_1 \sim N(0,1).$

步骤2：分析分母部分

• $X_2, X_3, X_4$ 独立且服从$N(0,1)$，故 $X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 \sim \chi^2(3)$。
• 分母可表示为：
  $\sqrt{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2} = \sqrt{3 \cdot \frac{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}{3}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}{3}}.$

步骤3：构造$t$分布形式

• 将$Y$改写为：
  $Y = \frac{\sqrt{3}X_1}{\sqrt{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}} = \frac{X_1}{\sqrt{\frac{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}{3}}}.$
• 此时，分子$X_1 \sim N(0,1)$，分母$\sqrt{\frac{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}{3}}$对应自由度为3的卡方变量的平方根，且两者独立。
• 根据$t$分布定义，$Y \sim t(3)$。