题目
【题目】为了测定一台机床的质量,把它分解成75个部件来称量.假定每个部件的称量误差(单位:kg)服从区间(-1,1)上的均匀分布,且每个部件的称量误差相互独立,试求机床重量的总误差的绝对值不超过10kg的概率
【题目】为了测定一台机床的质量,把它分解成75个部件来称量.假定每个部件的称量误差(单位:kg)服从区间(-1,1)上的均匀分布,且每个部件的称量误差相互独立,试求机床重量的总误差的绝对值不超过10kg的概率
题目解答
答案
【解析】解设第i个部件的称量误差为X (i=1,2,⋯,75) ,由题意知 X_i(i=1,2,…,75)相互独立且都服从区间(-1,1)上的均匀分布,并有E(X_i)=0 [1,(x_1)]=1/3(i=1,2,⋯,75)由独立同分布的中心极限定理,可以近似地认为∑_(n=1)^∞x_1=N_175*0.75*1/3=N(0,25) 于是,所求概率为P|_(∑_(i-1))*10=F_i10∑_(i=1)^nx_i≤10 ≈(10-0)/5-Φ(-10-0)/5=2Φ(2)-1 =2*0.9772-1=0.9544因此机床质量的总误差的绝对值不超过10kg的概率近似为09544.
解析
步骤 1：定义随机变量
设第i个部件的称量误差为X_i (i=1,2,⋯,75)。由题意知，X_i (i=1,2,…,75)相互独立且都服从区间(-1,1)上的均匀分布。
步骤 2：计算期望和方差
由于X_i服从区间(-1,1)上的均匀分布，其期望E(X_i) = 0，方差Var(X_i) = 1/3 (i=1,2,⋯,75)。
步骤 3：应用中心极限定理
根据独立同分布的中心极限定理，当n足够大时，∑_(i=1)^nX_i近似服从正态分布N(nμ, nσ^2)。这里n=75，μ=0，σ^2=1/3，因此∑_(i=1)^75X_i近似服从N(0, 75*1/3) = N(0, 25)。
步骤 4：计算概率
所求概率为P(|∑_(i=1)^75X_i| ≤ 10)。由于∑_(i=1)^75X_i近似服从N(0, 25)，可以将问题转化为求标准正态分布的概率。即P(-10 ≤ ∑_(i=1)^75X_i ≤ 10) = P(-10/5 ≤ Z ≤ 10/5) = P(-2 ≤ Z ≤ 2)，其中Z为标准正态分布变量。根据标准正态分布表，P(-2 ≤ Z ≤ 2) = 2Φ(2) - 1 = 2*0.9772 - 1 = 0.9544。
设第i个部件的称量误差为X_i (i=1,2,⋯,75)。由题意知，X_i (i=1,2,…,75)相互独立且都服从区间(-1,1)上的均匀分布。
步骤 2：计算期望和方差
由于X_i服从区间(-1,1)上的均匀分布，其期望E(X_i) = 0，方差Var(X_i) = 1/3 (i=1,2,⋯,75)。
步骤 3：应用中心极限定理
根据独立同分布的中心极限定理，当n足够大时，∑_(i=1)^nX_i近似服从正态分布N(nμ, nσ^2)。这里n=75，μ=0，σ^2=1/3，因此∑_(i=1)^75X_i近似服从N(0, 75*1/3) = N(0, 25)。
步骤 4：计算概率
所求概率为P(|∑_(i=1)^75X_i| ≤ 10)。由于∑_(i=1)^75X_i近似服从N(0, 25)，可以将问题转化为求标准正态分布的概率。即P(-10 ≤ ∑_(i=1)^75X_i ≤ 10) = P(-10/5 ≤ Z ≤ 10/5) = P(-2 ≤ Z ≤ 2)，其中Z为标准正态分布变量。根据标准正态分布表，P(-2 ≤ Z ≤ 2) = 2Φ(2) - 1 = 2*0.9772 - 1 = 0.9544。