题目
2.2如题2.2图所示平面力系中 _(1)=40sqrt (2)N ,_(2)=40N ,_(3)=100N ,_(4)=80N ,M=-|||-3200N·mm。各力作用位置如图所示,图中尺寸的单位为mm。求:-|||-(1)力系向O点的简化结果;-|||-(2)力系的合力的大小、方向及作用位置(用与x轴的交点坐标表示)。-|||-F1-|||-F2 y (0,30) 45°-|||-(-50,0) (20,20)-|||-0 x-|||-F3 M-|||-一-|||-F (20,-30)-|||-题2.2图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算力系向O点的简化结果
首先，我们需要计算每个力在O点的力矩。力矩的计算公式为 ${M} = {F} \times {d}$，其中 ${F}$ 是力的大小，${d}$ 是力的作用点到O点的距离。对于平面力系，力矩的方向由右手定则确定，顺时针为负，逆时针为正。
- 对于 ${F}_{1}$，其作用点为 (0, 30)，方向为45°，因此 ${F}_{1x} = {F}_{1} \cos(45°) = 40\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 40N$，${F}_{1y} = {F}_{1} \sin(45°) = 40\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 40N$。${F}_{1}$ 在O点的力矩为 ${M}_{1} = {F}_{1y} \times 0 - {F}_{1x} \times 30 = -1200N\cdot mm$。
- 对于 ${F}_{2}$，其作用点为 (-50, 0)，因此 ${F}_{2}$ 在O点的力矩为 ${M}_{2} = {F}_{2} \times 50 = 2000N\cdot mm$。
- 对于 ${F}_{3}$，其作用点为 (20, 20)，因此 ${F}_{3}$ 在O点的力矩为 ${M}_{3} = {F}_{3} \times 20 = 2000N\cdot mm$。
- 对于 ${F}_{4}$，其作用点为 (20, -30)，因此 ${F}_{4}$ 在O点的力矩为 ${M}_{4} = {F}_{4} \times 30 = 2400N\cdot mm$。
- 对于 ${M}$，其值为 3200N·mm。
将所有力矩相加，得到力系向O点的简化结果为 ${M}_{0} = -1200 + 2000 + 2000 + 2400 + 3200 = 8400N\cdot mm$，逆时针。
步骤 2：计算力系的合力的大小、方向及作用位置
合力的大小为所有力的矢量和，方向为合力的矢量方向，作用位置为合力的作用点。
- 对于 ${F}_{1}$，其大小为 ${F}_{1} = 40\sqrt{2}N$，方向为45°。
- 对于 ${F}_{2}$，其大小为 ${F}_{2} = 40N$，方向为水平向右。
- 对于 ${F}_{3}$，其大小为 ${F}_{3} = 100N$，方向为垂直向上。
- 对于 ${F}_{4}$，其大小为 ${F}_{4} = 80N$，方向为垂直向下。
将所有力的矢量和相加，得到合力的大小为 ${F}_{R} = \sqrt{{F}_{Rx}^{2} + {F}_{Ry}^{2}}$，其中 ${F}_{Rx} = {F}_{1x} + {F}_{2} = 40 + 40 = 80N$，${F}_{Ry} = {F}_{1y} + {F}_{3} - {F}_{4} = 40 + 100 - 80 = 60N$。因此，合力的大小为 ${F}_{R} = \sqrt{80^{2} + 60^{2}} = 100N$。
合力的方向为 $\theta = \arctan\left(\frac{{F}_{Ry}}{{F}_{Rx}}\right) = \arctan\left(\frac{60}{80}\right) = 36.87°$。
合力的作用位置为合力的作用点，可以通过合力矩公式 ${M}_{0} = {F}_{R} \times d$ 计算得到，其中 ${M}_{0} = 8400N\cdot mm$，${F}_{R} = 100N$。因此，合力的作用位置为 $d = \frac{{M}_{0}}{{F}_{R}} = \frac{8400}{100} = 84mm$。
首先，我们需要计算每个力在O点的力矩。力矩的计算公式为 ${M} = {F} \times {d}$，其中 ${F}$ 是力的大小，${d}$ 是力的作用点到O点的距离。对于平面力系，力矩的方向由右手定则确定，顺时针为负，逆时针为正。
- 对于 ${F}_{1}$，其作用点为 (0, 30)，方向为45°，因此 ${F}_{1x} = {F}_{1} \cos(45°) = 40\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 40N$，${F}_{1y} = {F}_{1} \sin(45°) = 40\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 40N$。${F}_{1}$ 在O点的力矩为 ${M}_{1} = {F}_{1y} \times 0 - {F}_{1x} \times 30 = -1200N\cdot mm$。
- 对于 ${F}_{2}$，其作用点为 (-50, 0)，因此 ${F}_{2}$ 在O点的力矩为 ${M}_{2} = {F}_{2} \times 50 = 2000N\cdot mm$。
- 对于 ${F}_{3}$，其作用点为 (20, 20)，因此 ${F}_{3}$ 在O点的力矩为 ${M}_{3} = {F}_{3} \times 20 = 2000N\cdot mm$。
- 对于 ${F}_{4}$，其作用点为 (20, -30)，因此 ${F}_{4}$ 在O点的力矩为 ${M}_{4} = {F}_{4} \times 30 = 2400N\cdot mm$。
- 对于 ${M}$，其值为 3200N·mm。
将所有力矩相加，得到力系向O点的简化结果为 ${M}_{0} = -1200 + 2000 + 2000 + 2400 + 3200 = 8400N\cdot mm$，逆时针。
步骤 2：计算力系的合力的大小、方向及作用位置
合力的大小为所有力的矢量和，方向为合力的矢量方向，作用位置为合力的作用点。
- 对于 ${F}_{1}$，其大小为 ${F}_{1} = 40\sqrt{2}N$，方向为45°。
- 对于 ${F}_{2}$，其大小为 ${F}_{2} = 40N$，方向为水平向右。
- 对于 ${F}_{3}$，其大小为 ${F}_{3} = 100N$，方向为垂直向上。
- 对于 ${F}_{4}$，其大小为 ${F}_{4} = 80N$，方向为垂直向下。
将所有力的矢量和相加，得到合力的大小为 ${F}_{R} = \sqrt{{F}_{Rx}^{2} + {F}_{Ry}^{2}}$，其中 ${F}_{Rx} = {F}_{1x} + {F}_{2} = 40 + 40 = 80N$，${F}_{Ry} = {F}_{1y} + {F}_{3} - {F}_{4} = 40 + 100 - 80 = 60N$。因此，合力的大小为 ${F}_{R} = \sqrt{80^{2} + 60^{2}} = 100N$。
合力的方向为 $\theta = \arctan\left(\frac{{F}_{Ry}}{{F}_{Rx}}\right) = \arctan\left(\frac{60}{80}\right) = 36.87°$。
合力的作用位置为合力的作用点，可以通过合力矩公式 ${M}_{0} = {F}_{R} \times d$ 计算得到，其中 ${M}_{0} = 8400N\cdot mm$，${F}_{R} = 100N$。因此，合力的作用位置为 $d = \frac{{M}_{0}}{{F}_{R}} = \frac{8400}{100} = 84mm$。