题目
5、设总体Xsim N(mu,sigma^2)，x_(1),x_(2),x_(3)为来自X的样本，则当常数a=____时，hat(mu)=(1)/(4)x_(1)+ax_(2)+(1)/(2)x_(3)是未知参数μ的无偏估计。
5、设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$x_{1},x_{2},x_{3}$为来自X的样本，则当常数a=____时，$\hat{\mu}=\frac{1}{4}x_{1}+ax_{2}+\frac{1}{2}x_{3}$是未知参数μ的无偏估计。
题目解答
答案
要使估计量 $\hat{\mu} = \frac{1}{4}x_1 + ax_2 + \frac{1}{2}x_3$ 成为 $\mu$ 的无偏估计，其期望值应等于 $\mu$。由于 $E(x_i) = \mu$（$i=1,2,3$），有：
\[
E(\hat{\mu}) = \left(\frac{1}{4} + a + \frac{1}{2}\right)\mu = \mu
\]
解得：
\[
\frac{1}{4} + a + \frac{1}{2} = 1 \implies a = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{1}{4}}$
解析
无偏估计的核心在于估计量的期望等于被估计参数。本题中，$\hat{\mu}$ 是 $\mu$ 的无偏估计，当且仅当 $E(\hat{\mu}) = \mu$。由于样本 $x_1, x_2, x_3$ 均服从总体分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其期望均为 $\mu$。因此，只需确保 $\hat{\mu}$ 的系数之和为 $1$，即可满足无偏性条件。
-
计算估计量的期望
根据线性性质，$\hat{\mu}$ 的期望为：
$E(\hat{\mu}) = \frac{1}{4}E(x_1) + aE(x_2) + \frac{1}{2}E(x_3).$
由于 $E(x_i) = \mu$，代入得：
$E(\hat{\mu}) = \left( \frac{1}{4} + a + \frac{1}{2} \right)\mu.$ -
建立无偏性方程
要求 $E(\hat{\mu}) = \mu$，即：
$\left( \frac{1}{4} + a + \frac{1}{2} \right)\mu = \mu.$ -
解方程求 $a$
两边消去 $\mu$（假设 $\mu \neq 0$），得：
$\frac{1}{4} + a + \frac{1}{2} = 1.$
合并常数项：
$\frac{3}{4} + a = 1 \implies a = \frac{1}{4}.$