题目
3.设x1,x2,···,xn和y1,y2,···,yn是两组样本观测值,且有如下关系:-|||-_(i)=3(x)_(i)-4 ,i=1, 2,···,n,-|||-试求样本均值x和y间的关系以及样本方差s^2和s2^2间的关系.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值的关系
样本均值 $\overline{x}$ 和 $\overline{y}$ 的关系可以通过给定的线性关系 ${y}_{i}=3{x}_{i}-4$ 来推导。样本均值 $\overline{x}$ 定义为所有样本值的平均值，即 $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$。同理，$\overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$。将 ${y}_{i}=3{x}_{i}-4$ 代入 $\overline{y}$ 的定义中，得到 $\overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(3{x}_{i}-4)$。根据线性性质，可以将求和符号内的表达式拆分为 $\overline{y} = 3\overline{x} - 4$。
步骤 2：计算样本方差的关系
样本方差 ${s}_{x}^{2}$ 和 ${s}_{y}^{2}$ 的关系可以通过给定的线性关系 ${y}_{i}=3{x}_{i}-4$ 来推导。样本方差定义为所有样本值与样本均值之差的平方的平均值，即 ${s}_{x}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$。同理，${s}_{y}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \overline{y})^2$。将 ${y}_{i}=3{x}_{i}-4$ 和 $\overline{y} = 3\overline{x} - 4$ 代入 ${s}_{y}^{2}$ 的定义中，得到 ${s}_{y}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}((3{x}_{i}-4) - (3\overline{x} - 4))^2$。化简后得到 ${s}_{y}^{2} = 9{s}_{x}^{2}$。
样本均值 $\overline{x}$ 和 $\overline{y}$ 的关系可以通过给定的线性关系 ${y}_{i}=3{x}_{i}-4$ 来推导。样本均值 $\overline{x}$ 定义为所有样本值的平均值，即 $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$。同理，$\overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$。将 ${y}_{i}=3{x}_{i}-4$ 代入 $\overline{y}$ 的定义中，得到 $\overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(3{x}_{i}-4)$。根据线性性质，可以将求和符号内的表达式拆分为 $\overline{y} = 3\overline{x} - 4$。
步骤 2：计算样本方差的关系
样本方差 ${s}_{x}^{2}$ 和 ${s}_{y}^{2}$ 的关系可以通过给定的线性关系 ${y}_{i}=3{x}_{i}-4$ 来推导。样本方差定义为所有样本值与样本均值之差的平方的平均值，即 ${s}_{x}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$。同理，${s}_{y}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \overline{y})^2$。将 ${y}_{i}=3{x}_{i}-4$ 和 $\overline{y} = 3\overline{x} - 4$ 代入 ${s}_{y}^{2}$ 的定义中，得到 ${s}_{y}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}((3{x}_{i}-4) - (3\overline{x} - 4))^2$。化简后得到 ${s}_{y}^{2} = 9{s}_{x}^{2}$。