3.设x1,x2,···,xn和y1,y2,···,yn是两组样本观测值,且有如下关系:-|||-_(i)=3(x)_(i)-4 ,i=1, 2,···,n,-|||-试求样本均值x和y间的关系以及样本方差s^2和s2^2间的关系.

考查要点：本题主要考查线性变换对样本均值和方差的影响，需要掌握均值和方差在数据线性变换下的变化规律。

解题核心思路：

1. 均值的线性性质：若每个数据点按$y_i = a x_i + b$变换，则新均值$\overline{y} = a \overline{x} + b$。
2. 方差的平方缩放性质：数据线性变换中的常数项$b$不影响方差，而系数$a$会使方差变为$a^2$倍，即$s_y^2 = a^2 s_x^2$。

破题关键点：

• 直接应用公式：根据线性变换的性质，直接推导均值和方差的关系，无需逐项计算。

样本均值的关系

根据均值的线性性质：
$\overline{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (3x_i - 4) = 3 \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i - 4 = 3\overline{x} - 4.$

样本方差的关系

根据方差的平方缩放性质：
$s_y^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2.$
将$y_i = 3x_i - 4$和$\overline{y} = 3\overline{x} - 4$代入：
$\begin{aligned}y_i - \overline{y} &= (3x_i - 4) - (3\overline{x} - 4) \\&= 3(x_i - \overline{x}).\end{aligned}$
平方后：
$(y_i - \overline{y})^2 = 9(x_i - \overline{x})^2.$
因此：
$s_y^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} 9(x_i - \overline{x})^2 = 9 \cdot \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 = 9s_x^2.$