题目
13.设x1,与x2是从同一正态总体N(μ ,σ^2)独立抽取的容量相同的两个样本均值.试确定样本容-|||-量n,使得两样本均值的差超过σ的概率不超过0.01.
13.
题目解答
答案
解答如下：
解析
步骤 1：确定问题
问题要求我们找到一个样本容量 $n$，使得两个样本均值的距离超过标准差 $\sigma$ 的概率不超过 0.01。
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，两个样本均值的差 $\overline{x_{1}}-\overline{x_{2}}$ 的分布近似为正态分布，其标准差为 $\sqrt{2\sigma^{2}/n}$。
步骤 3：计算概率
我们要求的是 $P\bigg(\left|\begin{array}{c}\overline{x_{1}}-\overline{x_{2}}\\\sqrt{2\sigma^{2}/n}\end{array}\right|>\frac{\sigma}{\sqrt{2\sigma^{2}/n}}\bigg)$ 不超过 0.01，即 $2\bigg[1-\Phi\bigg(\sqrt{\frac{n}{2}}\bigg)\bigg]\leqslant0.01$。
步骤 4：求解 $n$
根据标准正态分布表，$\Phi(2.575) = 0.995$，因此 $\sqrt{\frac{n}{2}} \geqslant 2.575$，从而 $n \geqslant 13.26$。取整数，$n \geqslant 14$。
问题要求我们找到一个样本容量 $n$，使得两个样本均值的距离超过标准差 $\sigma$ 的概率不超过 0.01。
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，两个样本均值的差 $\overline{x_{1}}-\overline{x_{2}}$ 的分布近似为正态分布，其标准差为 $\sqrt{2\sigma^{2}/n}$。
步骤 3：计算概率
我们要求的是 $P\bigg(\left|\begin{array}{c}\overline{x_{1}}-\overline{x_{2}}\\\sqrt{2\sigma^{2}/n}\end{array}\right|>\frac{\sigma}{\sqrt{2\sigma^{2}/n}}\bigg)$ 不超过 0.01，即 $2\bigg[1-\Phi\bigg(\sqrt{\frac{n}{2}}\bigg)\bigg]\leqslant0.01$。
步骤 4：求解 $n$
根据标准正态分布表，$\Phi(2.575) = 0.995$，因此 $\sqrt{\frac{n}{2}} \geqslant 2.575$，从而 $n \geqslant 13.26$。取整数，$n \geqslant 14$。