题目
设由来自正态总体 X sim N(mu, 0.9^2)，容量为9的简单随机样本计算得样本均值 overline(X) = 5，则未知参数 mu 的置信度为0.95的置信区间是（） A (4.412, 5.588). B (4.757, 5.243); C (4.357, 5.643); D (4.867, 5.133);
设由来自正态总体 $X \sim N(\mu, 0.9^2)$，容量为9的简单随机样本计算得样本均值 $\overline{X} = 5$，则未知参数 $\mu$ 的置信度为0.95的置信区间是（）
A (4.412, 5.588).
B (4.757, 5.243);
C (4.357, 5.643);
D (4.867, 5.133);
题目解答
答案
已知样本均值 $\overline{x} = 5$，总体标准差 $\sigma = 0.9$，样本容量 $n = 9$，置信度为 0.95。
对应标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数 $z_{0.025} = 1.96$。
计算标准误：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.9}{3} = 0.3$。
计算 margin of error：$1.96 \times 0.3 = 0.588$。
置信区间为：$\overline{x} \pm 0.588 = (4.412, 5.588)$。
答案：$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：确定已知参数
已知样本均值 $\overline{x} = 5$，总体标准差 $\sigma = 0.9$，样本容量 $n = 9$，置信度为 0.95。
步骤 2：查找标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数
对于置信度为 0.95，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，因此 $\alpha/2 = 0.025$。查标准正态分布表，得到 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算标准误
标准误为 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.9}{\sqrt{9}} = \frac{0.9}{3} = 0.3$。
步骤 4：计算 margin of error
margin of error 为 $z_{0.025} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times 0.3 = 0.588$。
步骤 5：计算置信区间
置信区间为 $\overline{x} \pm 0.588 = 5 \pm 0.588 = (4.412, 5.588)$。
已知样本均值 $\overline{x} = 5$，总体标准差 $\sigma = 0.9$，样本容量 $n = 9$，置信度为 0.95。
步骤 2：查找标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数
对于置信度为 0.95，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，因此 $\alpha/2 = 0.025$。查标准正态分布表，得到 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算标准误
标准误为 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.9}{\sqrt{9}} = \frac{0.9}{3} = 0.3$。
步骤 4：计算 margin of error
margin of error 为 $z_{0.025} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times 0.3 = 0.588$。
步骤 5：计算置信区间
置信区间为 $\overline{x} \pm 0.588 = 5 \pm 0.588 = (4.412, 5.588)$。