题目
[2016年] 设x1,x2,…,xn为来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本,样本均值.=9.5,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.
[2016年] 设x1,x2,…,xn为来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本,样本均值.=9.5,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.
题目解答
答案
正确答案:(8.2,10.8)解析:因,则故其中α=0.05,故μ的置信度为0.95的双侧置信区间为因μ的置信区间的置信上限为10.8,且,则所以μ的双侧置信区间为(9.5—1.3,9.5+1.3)=(8.2,10.8). 知识模块:参数估计与假设检验
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
对于正态分布总体N(μ,σ^2)的简单随机样本，当总体方差σ^2已知时，参数μ的置信度为1-α的双侧置信区间为：
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\)是样本均值，\(z_{\alpha/2}\)是标准正态分布的上α/2分位数，σ是总体标准差，n是样本容量。
步骤 2：确定置信区间的上限
题目中给出置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，即：
\[ \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10.8 \]
已知\(\bar{x} = 9.5\)，置信度为0.95，因此α=0.05，查标准正态分布表得\(z_{0.025} = 1.96\)。
步骤 3：计算置信区间的下限
根据置信区间的公式，置信区间的下限为：
\[ \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
由步骤2可知：
\[ 9.5 + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10.8 \]
解得：
\[ 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.3 \]
因此，置信区间的下限为：
\[ 9.5 - 1.3 = 8.2 \]
对于正态分布总体N(μ,σ^2)的简单随机样本，当总体方差σ^2已知时，参数μ的置信度为1-α的双侧置信区间为：
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\)是样本均值，\(z_{\alpha/2}\)是标准正态分布的上α/2分位数，σ是总体标准差，n是样本容量。
步骤 2：确定置信区间的上限
题目中给出置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，即：
\[ \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10.8 \]
已知\(\bar{x} = 9.5\)，置信度为0.95，因此α=0.05，查标准正态分布表得\(z_{0.025} = 1.96\)。
步骤 3：计算置信区间的下限
根据置信区间的公式，置信区间的下限为：
\[ \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
由步骤2可知：
\[ 9.5 + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10.8 \]
解得：
\[ 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.3 \]
因此，置信区间的下限为：
\[ 9.5 - 1.3 = 8.2 \]