某人下午5:00下班,他所积累的资料表明,到家时间5:35～5:39 5:40～5:44 5:45～5:49 5:50～5:54　 迟于5:54乘地铁的概率 0.10　　　　0.25　　　　　0.45　　　0.15　　　　　0.05乘汽车的概率　0.30　　　　0.35　　　　　0.20　　　0.10　　　　　0.05某日,他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家,试求他是乘地铁回家的概率。

考查要点：本题主要考查条件概率的应用，特别是贝叶斯定理的理解与运用。需要根据已知的到家时间区间，反推选择交通工具的概率。

解题核心思路：

1. 确定事件关系：到家时间（B3区间）与交通工具选择（地铁或汽车）之间的条件概率关系。
2. 应用贝叶斯公式：通过先验概率（抛硬币决定交通工具的等概率）和各个交通工具对应的时间段概率，计算后验概率。
3. 关键点：正确识别到家时间对应的区间（B3），并准确提取表格中的条件概率值。

步骤分解

1. 定义事件

• 设 $A$ 表示“乘地铁”，$\bar{A}$ 表示“乘汽车”。
• 到家时间区间 $B_3$ 对应“5:45～5:49”。

2. 确定先验概率

抛硬币决定交通工具，因此：
$P(A) = P(\bar{A}) = \frac{1}{2}$

3. 提取条件概率

• 乘地铁时到家在 $B_3$ 的概率：$P(B_3|A) = 0.45$
• 乘汽车时到家在 $B_3$ 的概率：$P(B_3|\bar{A}) = 0.20$

4. 计算总概率 $P(B_3)$

根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(B_3) &= P(B_3|A)P(A) + P(B_3|\bar{A})P(\bar{A}) \\&= 0.45 \times \frac{1}{2} + 0.20 \times \frac{1}{2} \\&= 0.325\end{aligned}$

5. 应用贝叶斯公式

求 $P(A|B_3)$：
$\begin{aligned}P(A|B_3) &= \frac{P(B_3|A)P(A)}{P(B_3)} \\&= \frac{0.45 \times \frac{1}{2}}{0.325} \\&= \frac{0.225}{0.325} \\&= \frac{9}{13} \approx 0.6923\end{aligned}$