题目
某人下午5:00下班,他所积累的资料表明,到家时间5:35～5:39 5:40～5:44 5:45～5:49 5:50～5:54 迟于5:54乘地铁的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05乘汽车的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05某日,他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家,试求他是乘地铁回家的概率。
某人下午5:00下班,他所积累的资料表明,
到家时间
5:35～5:39 5:40～5:44 5:45～5:49 5:50～5:54 迟于5:54
乘地铁的概率
0.10 0.25 0.45 0.15 0.05
乘汽车的概率
0.30 0.35 0.20 0.10 0.05
某日,他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家,试求他是乘地铁回家的概率。
题目解答
答案
解 设
=“乘地铁回家”,
=“乘汽车回家”
=“5:35~5:39回家”; 
=“ 5:40~5:44回家”;
=“ 5:45~5:49回家”; 
=“ 5:50~5:54回家”;
=“ 迟于5:54回家”
因为他到家的时间为5:47,则所求概率为在事件=“5:45~5:49回家”发生条件下发生的条件概率:
(由贝叶斯公式)
。
解析
步骤 1：定义事件
设事件A为“乘地铁回家”，事件B为“乘汽车回家”。设事件B1为“5:35~5:39回家”，事件B2为“5:40~5:44回家”，事件B3为“5:45~5:49回家”，事件B4为“5:50~5:54回家”，事件B5为“迟于5:54回家”。
步骤 2：计算条件概率
根据题意，他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，因此乘地铁和乘汽车的概率各为0.5。他到家的时间为5:47，属于事件B3，即“5:45~5:49回家”。所求概率为在事件B3发生条件下事件A发生的条件概率，即P(A|B3)。
步骤 3：应用贝叶斯公式
根据贝叶斯公式，P(A|B3) = P(A)P(B3|A) / [P(A)P(B3|A) + P(B)P(B3|B)]。其中，P(A) = 0.5，P(B) = 0.5，P(B3|A) = 0.45，P(B3|B) = 0.20。
步骤 4：计算最终结果
将上述值代入贝叶斯公式，得到P(A|B3) = (0.5 * 0.45) / [(0.5 * 0.45) + (0.5 * 0.20)] = 0.45 / (0.45 + 0.20) = 0.45 / 0.65 = 9 / 13 ≈ 0.6923。
设事件A为“乘地铁回家”，事件B为“乘汽车回家”。设事件B1为“5:35~5:39回家”，事件B2为“5:40~5:44回家”，事件B3为“5:45~5:49回家”，事件B4为“5:50~5:54回家”，事件B5为“迟于5:54回家”。
步骤 2：计算条件概率
根据题意，他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，因此乘地铁和乘汽车的概率各为0.5。他到家的时间为5:47，属于事件B3，即“5:45~5:49回家”。所求概率为在事件B3发生条件下事件A发生的条件概率，即P(A|B3)。
步骤 3：应用贝叶斯公式
根据贝叶斯公式，P(A|B3) = P(A)P(B3|A) / [P(A)P(B3|A) + P(B)P(B3|B)]。其中，P(A) = 0.5，P(B) = 0.5，P(B3|A) = 0.45，P(B3|B) = 0.20。
步骤 4：计算最终结果
将上述值代入贝叶斯公式，得到P(A|B3) = (0.5 * 0.45) / [(0.5 * 0.45) + (0.5 * 0.20)] = 0.45 / (0.45 + 0.20) = 0.45 / 0.65 = 9 / 13 ≈ 0.6923。