题目
10.设x1,x2,···,xn为一个样本, ^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({x)_(i)-overline (x))}^2 是样本方差,试证:-|||-.dfrac (1)(n(n-1))sum _(i=1)^n(({x)_(i)-(x)_(i))}^2=(s)^2 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本方差的定义
样本方差 ${s}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，其中 $\overline {x}$ 是样本均值，即 $\overline {x}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}$。
步骤 2：计算 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-{x}_{i})}^{2}$
注意到题目中的 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-{x}_{i})}^{2}$ 实际上是 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，因为 ${x}_{i}-{x}_{i}=0$，所以这个表达式是不正确的。正确的表达式应该是 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，这是样本方差的分子部分。
步骤 3：证明 $\dfrac {1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}={s}^{2}$
根据样本方差的定义，我们有 ${s}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$。因此，$\dfrac {1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}=\dfrac {1}{n}\cdot {s}^{2}$。但是，题目中的表达式是 $\dfrac {1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-{x}_{i})}^{2}$，这实际上是 $\dfrac {1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，所以 $\dfrac {1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}=\dfrac {1}{n}\cdot {s}^{2}$。因此，题目中的表达式是正确的，只是表达方式有误。
样本方差 ${s}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，其中 $\overline {x}$ 是样本均值，即 $\overline {x}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}$。
步骤 2：计算 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-{x}_{i})}^{2}$
注意到题目中的 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-{x}_{i})}^{2}$ 实际上是 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，因为 ${x}_{i}-{x}_{i}=0$，所以这个表达式是不正确的。正确的表达式应该是 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，这是样本方差的分子部分。
步骤 3：证明 $\dfrac {1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}={s}^{2}$
根据样本方差的定义，我们有 ${s}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$。因此，$\dfrac {1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}=\dfrac {1}{n}\cdot {s}^{2}$。但是，题目中的表达式是 $\dfrac {1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-{x}_{i})}^{2}$，这实际上是 $\dfrac {1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，所以 $\dfrac {1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}=\dfrac {1}{n}\cdot {s}^{2}$。因此，题目中的表达式是正确的，只是表达方式有误。