题目
设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布,且X与Y相互独立,则(X,Y)的联合概率密度函数是 ()
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定单个随机变量的概率密度函数
由于随机变量X和Y都服从标准正态分布N(0,1)，它们的概率密度函数分别为：
$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$
$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$
步骤 2：利用独立性计算联合概率密度函数
由于X和Y相互独立，它们的联合概率密度函数是各自概率密度函数的乘积：
$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$
代入步骤1中的概率密度函数，得到：
$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$
$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2}{2}}e^{-\frac{y^2}{2}}$
$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$
由于随机变量X和Y都服从标准正态分布N(0,1)，它们的概率密度函数分别为：
$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$
$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$
步骤 2：利用独立性计算联合概率密度函数
由于X和Y相互独立，它们的联合概率密度函数是各自概率密度函数的乘积：
$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$
代入步骤1中的概率密度函数，得到：
$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$
$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2}{2}}e^{-\frac{y^2}{2}}$
$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$