12.(简答题)[计算题]已知某型号电子产品的寿命服从参数为 dfrac (1)(3) 的指数分布,抽取50件产品进行寿命试验,以X表示产品寿命大于3-|||-的件数,-|||-求:(1)X服从的分布(2)抽取的50件产品中至少有一件寿命大于3的概率。

考查要点：本题主要考查指数分布的概率计算以及二项分布的应用，同时涉及独立事件概率的计算。

解题核心思路：

1. 指数分布的性质：已知寿命服从参数为$\lambda = \dfrac{1}{3}$的指数分布，需计算单个产品寿命大于3的概率。
2. 二项分布的判定：50件产品中寿命大于3的件数$X$服从二项分布，需确定参数$n$和$p$。
3. 逆向思维求概率：至少有一件寿命大于3的概率可通过补集（全部寿命不超过3的概率）计算。

破题关键点：

• 指数分布的生存函数：$P(\xi > 3) = e^{-\lambda \cdot 3}$。
• 独立重复试验：50件产品寿命相互独立，满足二项分布条件。
• 补集简化计算：至少一个事件发生概率 = 1 - 全部不发生的概率。

第（1）题：X服从的分布

确定单个产品寿命大于3的概率

指数分布的累积分布函数（CDF）为：
$F(x) = P(\xi \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x > 0$
其中$\lambda = \dfrac{1}{3}$。因此：
$P(\xi > 3) = 1 - F(3) = 1 - \left(1 - e^{-\dfrac{1}{3} \cdot 3}\right) = e^{-1}.$

判定二项分布参数

抽取50件产品，每件产品寿命是否大于3是独立事件，成功概率$p = e^{-1}$。因此，$X$服从二项分布：
$X \sim B\left(50, e^{-1}\right).$

第（2）题：至少有一件寿命大于3的概率

计算全部寿命不超过3的概率

单件寿命不超过3的概率为$1 - e^{-1}$，50件均不超过3的概率为：
$(1 - e^{-1})^{50}.$

利用补集求解

至少有一件寿命大于3的概率为：
$1 - (1 - e^{-1})^{50}.$