4.设总体X的概率密度为-|||-f(x)= ) theta , 0lt xlt 1, 1-theta , 1leqslant xlt 2, 0, .-|||-其中θ是未知参数 (0lt theta lt 1) .X1,X2,···,xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本-|||-值x1,x2,···,xn中小于1的个数.-|||-(1)求θ的矩估计.-|||-(2)求θ的最大似然估计.

步骤 1：求总体X的期望
总体X的期望为：
E(X) = $\int_{0}^{1} x\theta dx + \int_{1}^{2} x(1-\theta) dx$
= $\theta \int_{0}^{1} x dx + (1-\theta) \int_{1}^{2} x dx$
= $\theta \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} + (1-\theta) \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2}$
= $\theta \left(\frac{1}{2}\right) + (1-\theta) \left(\frac{3}{2}\right)$
= $\frac{\theta}{2} + \frac{3}{2} - \frac{3\theta}{2}$
= $\frac{3}{2} - \theta$
步骤 2：求矩估计
矩估计量为 $\hat{\theta} = \frac{3}{2} - \hat{x}$，其中 $\hat{x}$ 是样本均值。
步骤 3：求最大似然估计
似然函数为：
L(θ) = $\prod_{i=1}^{n} f(x_i)$
= $\prod_{i=1}^{n} \theta^{I_{(0,1)}(x_i)} (1-\theta)^{I_{[1,2)}(x_i)}$
= $\theta^{N} (1-\theta)^{n-N}$
其中，$I_{(0,1)}(x_i)$ 和 $I_{[1,2)}(x_i)$ 分别是指示函数，当 $x_i$ 属于 $(0,1)$ 和 $[1,2)$ 时取值为1，否则为0。
对数似然函数为：
ln L(θ) = $N \ln \theta + (n-N) \ln (1-\theta)$
对 ln L(θ) 求导并令导数为0，得到：
$\frac{N}{\theta} - \frac{n-N}{1-\theta} = 0$
解得最大似然估计量为 $\hat{\theta} = \frac{N}{n}$。