题目

18、在总体N(52,7^2)中随机抽取容量为49的样本X_(1),X_(2),...,X_(49)，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率。(注：Φ(2)=0.9772) (8.5)

18、在总体$N(52,7^{2})$中随机抽取容量为49的样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{49}$，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率。(注：Φ(2)=0.9772) (8.5)

题目解答

答案

为了求样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率，我们首先需要确定样本均值的分布。已知总体服从正态分布 $N(52, 7^2)$，样本容量为49，样本均值 $\bar{X}$ 也服从正态分布，其均值为总体均值 $\mu = 52$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n} = \frac{7^2}{49} = 1$。因此，样本均值 $\bar{X}$ 服从 $N(52, 1)$。 我们要求的是 $P(|\bar{X} - 52| > 2)$。这个概率可以表示为： \[ P(|\bar{X} - 52| > 2) = P(\bar{X} - 52 > 2) + P(\bar{X} - 52 < -2) \] 由于 $\bar{X} - 52$ 服从 $N(0, 1)$，即标准正态分布，我们可以使用标准正态分布的分布函数 $\Phi(z)$ 来计算这些概率。具体来说： \[ P(\bar{X} - 52 > 2) = P(Z > 2) = 1 - \Phi(2) \] \[ P(\bar{X} - 52 < -2) = P(Z < -2) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \] 因此： \[ P(|\bar{X} - 52| > 2) = (1 - \Phi(2)) + (1 - \Phi(2)) = 2(1 - \Phi(2)) \] 已知 $\Phi(2) = 0.9772$，代入得到： \[ P(|\bar{X} - 52| > 2) = 2(1 - 0.9772) = 2 \times 0.0228 = 0.0456 \] 所以，样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率是 $\boxed{0.0456}$。

解析

考查要点：本题主要考查正态分布下样本均值的分布性质，以及利用标准正态分布函数计算概率的能力。

解题核心思路：

  1. 确定样本均值的分布：由于总体服从正态分布，样本均值$\bar{X}$也服从正态分布，其均值为总体均值$\mu$，方差为$\frac{\sigma^2}{n}$。
  2. 标准化处理：将样本均值与总体均值之差转化为标准正态变量$Z$，利用已知的$\Phi(2)$计算概率。
  3. 对称性应用：利用标准正态分布的对称性简化计算，避免重复计算两侧概率。

破题关键点：

  • 样本均值的方差计算：$\frac{7^2}{49} = 1$，简化后续标准化步骤。
  • 绝对值概率的分解：将$P(|\bar{X} - \mu| > 2)$拆分为两侧概率之和，结合标准正态分布的对称性快速求解。

  1. 确定样本均值的分布
    总体服从$N(52, 7^2)$，样本容量$n=49$，因此样本均值$\bar{X}$服从：
    $\bar{X} \sim N\left(52, \frac{7^2}{49}\right) = N(52, 1)$

  2. 标准化处理
    将$\bar{X} - 52$标准化为标准正态变量$Z$：
    $Z = \frac{\bar{X} - 52}{\sqrt{1}} = \bar{X} - 52 \sim N(0, 1)$

  3. 计算概率

    • 分解绝对值概率：
      $P(|\bar{X} - 52| > 2) = P(\bar{X} - 52 > 2) + P(\bar{X} - 52 < -2)$
    • 转化为标准正态概率：
      $P(Z > 2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$
      $P(Z < -2) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) = 0.0228$
    • 求和：
      $P(|\bar{X} - 52| > 2) = 0.0228 + 0.0228 = 0.0456$