题目

长为 l，直径为 d 的圆轴，材料的切变模量为 G。受扭转时，测得圆轴表面的纵向线倾斜一微小角度 gamma，横截面的最大切应力 tau_(max )= _______，横截面上的扭矩 T= _______，两端横截面的的相对扭转角 varphi= _______，单位长度扭转角 varphi'= _______。

长为 $l$，直径为 $d$ 的圆轴，材料的切变模量为 $G$。受扭转时，测得圆轴表面的纵向线倾斜一微小角度 $\gamma$，横截面的最大切应力 $\tau_{\max }=$ _______，横截面上的扭矩 $T=$ _______，两端横截面的的相对扭转角 $\varphi=$ _______，单位长度扭转角 $\varphi'=$ _______。

题目解答

答案

根据扭转理论： 1. 最大切应力为： \[ \tau_{\max} = G \gamma \] 2. 扭矩为： \[ T = \frac{\pi d^3 G \gamma}{16} \] 3. 相对扭转角为： \[ \phi = \frac{2 \gamma l}{d} \] 4. 单位长度扭转角为： \[ \varphi' = \frac{2 \gamma}{d} \] 综上，各物理量分别为： \[ \tau_{\max} = G \gamma, \quad T = \frac{\pi d^3 G \gamma}{16}, \quad \phi = \frac{2 \gamma l}{d}, \quad \varphi' = \frac{2 \gamma}{d} \]

解析

本题考查圆轴扭转时的应力、变形计算，需结合剪切胡克定律、切应力公式、扭转角公式进行推导。关键点在于：

  1. 最大切应力由材料剪切模量与表面剪应变直接关联；
  2. 扭矩需通过切应力公式反推；
  3. 扭转角与剪应变、轴长及直径的关系。

最大切应力 $\tau_{\max}$

根据剪切胡克定律，切应力 $\tau = G \gamma$，其中 $\gamma$ 为剪应变，$G$ 为切变模量。圆轴表面剪应变最大，故：
$\tau_{\max} = G \gamma$

扭矩 $T$

由切应力公式 $\tau = \frac{T r}{J}$，其中 $r = \frac{d}{2}$，抗扭截面模量 $J = \frac{\pi d^4}{32}$。代入 $\tau_{\max} = G \gamma$：
$T = \frac{\tau_{\max} J}{r} = \frac{G \gamma \cdot \frac{\pi d^4}{32}}{\frac{d}{2}} = \frac{\pi d^3 G \gamma}{16}$

相对扭转角 $\varphi$

剪应变 $\gamma = r \varphi'$（$\varphi'$ 为单位长度扭转角），得 $\varphi' = \frac{2 \gamma}{d}$。总扭转角为：
$\varphi = \varphi' \cdot l = \frac{2 \gamma l}{d}$

单位长度扭转角 $\varphi'$

直接由 $\gamma = r \varphi'$ 得：
$\varphi' = \frac{2 \gamma}{d}$