题目
12.(简答题)【计算题]已知某型号电子产品的寿命服从参数为 dfrac (1)(3) 的指数分布,抽取50件产品进行寿命试验,以X表示产品寿命大于3-|||-的件数,-|||-求:(1)X服从的分布(2)抽取的50件产品中至少有一件寿命大于3的概率。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定指数分布的概率密度函数
指数分布的概率密度函数为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中 $\lambda$ 是分布的参数。题目中给出的参数为 $\dfrac{1}{3}$，因此，概率密度函数为 $f(x) = \dfrac{1}{3} e^{-\dfrac{x}{3}}$。
步骤 2：计算产品寿命大于3的概率
产品寿命大于3的概率为 $P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3)$。根据指数分布的累积分布函数 $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$，可以得到 $P(X \leq 3) = 1 - e^{-\dfrac{3}{3}} = 1 - e^{-1}$。因此，$P(X > 3) = e^{-1}$。
步骤 3：确定X的分布
X表示产品寿命大于3的件数，因此，X服从二项分布 $B(n, p)$，其中 $n = 50$，$p = e^{-1}$。所以，$X \sim B(50, e^{-1})$。
步骤 4：计算至少有一件产品寿命大于3的概率
至少有一件产品寿命大于3的概率为 $1 - P(X = 0)$。根据二项分布的概率质量函数 $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$，可以得到 $P(X = 0) = (1 - e^{-1})^{50}$。因此，至少有一件产品寿命大于3的概率为 $1 - (1 - e^{-1})^{50}$。
指数分布的概率密度函数为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中 $\lambda$ 是分布的参数。题目中给出的参数为 $\dfrac{1}{3}$，因此，概率密度函数为 $f(x) = \dfrac{1}{3} e^{-\dfrac{x}{3}}$。
步骤 2：计算产品寿命大于3的概率
产品寿命大于3的概率为 $P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3)$。根据指数分布的累积分布函数 $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$，可以得到 $P(X \leq 3) = 1 - e^{-\dfrac{3}{3}} = 1 - e^{-1}$。因此，$P(X > 3) = e^{-1}$。
步骤 3：确定X的分布
X表示产品寿命大于3的件数，因此，X服从二项分布 $B(n, p)$，其中 $n = 50$，$p = e^{-1}$。所以，$X \sim B(50, e^{-1})$。
步骤 4：计算至少有一件产品寿命大于3的概率
至少有一件产品寿命大于3的概率为 $1 - P(X = 0)$。根据二项分布的概率质量函数 $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$，可以得到 $P(X = 0) = (1 - e^{-1})^{50}$。因此，至少有一件产品寿命大于3的概率为 $1 - (1 - e^{-1})^{50}$。