题目
设 X_1, X_2, ..., X_n 为来自正态总体 N(mu, 2) 的简单随机样本，记 overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i，z_alpha 表示标准正态分布的上侧 alpha 分位数。假设检验问题:H_0: mu leq 1，H_1: mu > 1 的显著性水平为 alpha 的检验拒绝域为 A. (X_1, X_2, ..., X_n)| overline{X) > 1 + (2)/(n) z_alpha}.B. (X_1, X_2, ..., X_n)| overline{X) > 1 + (sqrt(2))/(n) z_alpha}.C. (X_1, X_2, ..., X_n)| overline{X) > 1 + (2)/(sqrt(n)) z_alpha}.D. (X_1, X_2, ..., X_n)| overline{X) > 1 + sqrt((2)/(n)) z_alpha}.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N(\mu, 2)$ 的简单随机样本，记 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，$z_\alpha$ 表示标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数。假设检验问题:$H_0: \mu \leq 1$，$H_1: \mu > 1$ 的显著性水平为 $\alpha$ 的检验拒绝域为
- A. $\{(X_1, X_2, \cdots, X_n)| \overline{X} > 1 + \frac{2}{n} z_\alpha\}$.
- B. $\{(X_1, X_2, \cdots, X_n)| \overline{X} > 1 + \frac{\sqrt{2}}{n} z_\alpha\}$.
- C. $\{(X_1, X_2, \cdots, X_n)| \overline{X} > 1 + \frac{2}{\sqrt{n}} z_\alpha\}$.
- D. $\{(X_1, X_2, \cdots, X_n)| \overline{X} > 1 + \sqrt{\frac{2}{n}} z_\alpha\}$.
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要确定假设检验 $H_0: \mu \le 1$ 对 $H_1: \mu > 1$ 的拒绝域，显著性水平为 $\alpha$。检验统计量是样本均值 $\overline{X}$，它来自正态总体 $N(\mu, 2)$。
样本均值 $\overline{X}$ 的分布是 $N\left(\mu, \frac{2}{n}\right)$。为了标准化 $\overline{X}$，我们使用变换：
\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{\frac{2}{n}}} \]
在零假设 $H_0: \mu \le 1$ 下，$\mu$ 的最大值为 1。因此，我们使用 $\mu = 1$ 来找到拒绝域：
\[ Z = \frac{\overline{X} - 1}{\sqrt{\frac{2}{n}}} \]
在 $H_0$ 下，$Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。对于上侧备择假设 $H_1: \mu > 1$，我们拒绝 $H_0$，如果 $Z$ 大于标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数，即 $z_\alpha$。因此，拒绝域为：
\[ Z > z_\alpha \]
将 $Z$ 的表达式代回，我们得到：
\[ \frac{\overline{X} - 1}{\sqrt{\frac{2}{n}}} > z_\alpha \]
解 $\overline{X}$，我们有：
\[ \overline{X} - 1 > z_\alpha \sqrt{\frac{2}{n}} \]
\[ \overline{X} > 1 + z_\alpha \sqrt{\frac{2}{n}} \]
因此，检验的拒绝域为：
\[ \{ (X_1, X_2, \cdots, X_n) \mid \overline{X} > 1 + \sqrt{\frac{2}{n}} z_\alpha \} \]
正确答案是：
\[
\boxed{D}
\]
解析
步骤 1：确定检验统计量
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, 2)$ 的简单随机样本，样本均值 $\overline{X}$ 的分布是 $N\left(\mu, \frac{2}{n}\right)$。为了标准化 $\overline{X}$，我们使用变换：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{\frac{2}{n}}} \] 在零假设 $H_0: \mu \le 1$ 下，$\mu$ 的最大值为 1。因此，我们使用 $\mu = 1$ 来找到拒绝域：\[ Z = \frac{\overline{X} - 1}{\sqrt{\frac{2}{n}}} \] 在 $H_0$ 下，$Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 2：确定拒绝域
对于上侧备择假设 $H_1: \mu > 1$，我们拒绝 $H_0$，如果 $Z$ 大于标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数，即 $z_\alpha$。因此，拒绝域为：\[ Z > z_\alpha \] 将 $Z$ 的表达式代回，我们得到：\[ \frac{\overline{X} - 1}{\sqrt{\frac{2}{n}}} > z_\alpha \] 解 $\overline{X}$，我们有：\[ \overline{X} - 1 > z_\alpha \sqrt{\frac{2}{n}} \] \[ \overline{X} > 1 + z_\alpha \sqrt{\frac{2}{n}} \] 因此，检验的拒绝域为：\[ \{ (X_1, X_2, \cdots, X_n) \mid \overline{X} > 1 + \sqrt{\frac{2}{n}} z_\alpha \} \]
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, 2)$ 的简单随机样本，样本均值 $\overline{X}$ 的分布是 $N\left(\mu, \frac{2}{n}\right)$。为了标准化 $\overline{X}$，我们使用变换：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{\frac{2}{n}}} \] 在零假设 $H_0: \mu \le 1$ 下，$\mu$ 的最大值为 1。因此，我们使用 $\mu = 1$ 来找到拒绝域：\[ Z = \frac{\overline{X} - 1}{\sqrt{\frac{2}{n}}} \] 在 $H_0$ 下，$Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 2：确定拒绝域
对于上侧备择假设 $H_1: \mu > 1$，我们拒绝 $H_0$，如果 $Z$ 大于标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数，即 $z_\alpha$。因此，拒绝域为：\[ Z > z_\alpha \] 将 $Z$ 的表达式代回，我们得到：\[ \frac{\overline{X} - 1}{\sqrt{\frac{2}{n}}} > z_\alpha \] 解 $\overline{X}$，我们有：\[ \overline{X} - 1 > z_\alpha \sqrt{\frac{2}{n}} \] \[ \overline{X} > 1 + z_\alpha \sqrt{\frac{2}{n}} \] 因此，检验的拒绝域为：\[ \{ (X_1, X_2, \cdots, X_n) \mid \overline{X} > 1 + \sqrt{\frac{2}{n}} z_\alpha \} \]