题目
1.(9分)由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹,取枪口为原点,沿v0方向为x轴,竖直向下为y-|||-轴,并取发射时刻t为0,试求:-|||-(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨迹方程;-|||-(2)子弹在t时刻的速度、切向加速度和法向加速度。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定子弹在任一时刻t的位置坐标
子弹在水平方向上以初速度v0做匀速直线运动，因此在任一时刻t，子弹的水平位置坐标为x=v0t。在竖直方向上，子弹受到重力加速度g的作用，做自由落体运动，因此在任一时刻t，子弹的竖直位置坐标为y=1/2gt^2。
步骤 2：确定子弹的轨迹方程
根据步骤1中得到的x和y的表达式，可以消去时间t，得到子弹的轨迹方程。将x=v0t代入y=1/2gt^2中，得到y=1/2g(x/v0)^2，即$y=\dfrac {{x}^{2}g}{2{{v}_{0}}^{2}}$。
步骤 3：确定子弹在t时刻的速度、切向加速度和法向加速度
子弹在水平方向上的速度分量为vx=v0，竖直方向上的速度分量为vy=gt。因此，子弹在t时刻的速度大小为$v=\sqrt {{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt {{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{0}}^{2}{t}^{2}}$，方向为与x轴夹角$\theta=\arctan (\dfrac {gt}{{v}_{0}})$。子弹的切向加速度为${a}_{t}=\dfrac {dv}{dt}=\dfrac {{g}^{2}t}{\sqrt {{{v}_{0}}^{2}+{g}^{2}{t}^{2}}}$，与v同向。子弹的法向加速度为${a}_{n}={({g}^{2}-{{a}_{t}}^{2})}^{1/2}=\dfrac {{v}_{0}g}{\sqrt {{{v}_{0}}^{2}}+{g}^{2}{t}^{2}}}$，方向与at垂直。
子弹在水平方向上以初速度v0做匀速直线运动，因此在任一时刻t，子弹的水平位置坐标为x=v0t。在竖直方向上，子弹受到重力加速度g的作用，做自由落体运动，因此在任一时刻t，子弹的竖直位置坐标为y=1/2gt^2。
步骤 2：确定子弹的轨迹方程
根据步骤1中得到的x和y的表达式，可以消去时间t，得到子弹的轨迹方程。将x=v0t代入y=1/2gt^2中，得到y=1/2g(x/v0)^2，即$y=\dfrac {{x}^{2}g}{2{{v}_{0}}^{2}}$。
步骤 3：确定子弹在t时刻的速度、切向加速度和法向加速度
子弹在水平方向上的速度分量为vx=v0，竖直方向上的速度分量为vy=gt。因此，子弹在t时刻的速度大小为$v=\sqrt {{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt {{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{0}}^{2}{t}^{2}}$，方向为与x轴夹角$\theta=\arctan (\dfrac {gt}{{v}_{0}})$。子弹的切向加速度为${a}_{t}=\dfrac {dv}{dt}=\dfrac {{g}^{2}t}{\sqrt {{{v}_{0}}^{2}+{g}^{2}{t}^{2}}}$，与v同向。子弹的法向加速度为${a}_{n}={({g}^{2}-{{a}_{t}}^{2})}^{1/2}=\dfrac {{v}_{0}g}{\sqrt {{{v}_{0}}^{2}}+{g}^{2}{t}^{2}}}$，方向与at垂直。