设随机变量X的分布函数为F（x，α，β）= 1−( α x )β，x＞α 0， x≤α ，其中参数α＞0，β＞1．设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本， （Ⅰ）当α=1时，求未知参数β的矩估计量； （Ⅱ）当α=1时，求未知参数β的最大似然估计量； （Ⅲ）当β=2时，求未知参数α的最大似然估计量．

步骤 1：确定概率密度函数
当α=1时，X的概率密度为：
f（x，β）=
β
xβ+1
x＞1
0 x≤1
．

步骤 2：求未知参数β的矩估计量
由于EX=
∫
+∞ -∞
xf(x；β)dx=
∫
+∞ 1
x•
β
xβ+1
dx=
β
β-1
，
令：
β
β-1
=
.
X
，
解得：β=
.
X
.
X
-1
，
所以，参数β的矩估计量为：β=
.
X
.
X
-1
．

步骤 3：求未知参数β的最大似然估计量
当α=1时，
对于总体X的样本值x_1，x_2，…，x_n，似然函数为：
L（β）=
n
π
i=1
f(xi；α)=
βn
(x1x2…xn)β+1
xi＞1 (i=1，2，…，n)
0 其他
，
当x_i＞1（i=1，2，…，n）时，L（β）＞0，
取对数得：lnL(β)=nlnβ-(β+1)
n
i=1
lnxi，
对β求导数，得：
d[lnL(β)]
dβ
=
n
β
-
n
i=1
lnxi，
令：
d[lnL(β)]
dβ
=
n
β
-
n
i=1
lnxi=0，
解得：β=
n
n
i=1
lnxi
，
于是β的最大似然估计量为：
̂
β
=
n
n
i=1
lnxi
．

步骤 4：求未知参数α的最大似然估计量
当β=2时，X的概率密度为：
f（x，β）=
2α2
x3
x＞α
0 x≤α
，
对于总体X的样本值x_1，x_2，…，x_n，似然函数为：
L（α）=
n
π
i=1
f(xi；α)=
2na2n
(x1x2…xn)3
xi＞α (i=1，2，…，n)
0 其他
，
当x_i＞α（i=1，2，…，n）时，α越大，L（α）越大，
即α的最大似然估计值为：
̂
α
=min{x1，x2，…，xn}，
于是α的最大似然估计量为
̂
α
=min{X1，X2，…，Xn}．