题目
3.一质点在xOy平面内做曲线运动,其运动方程为 =5ti+(15t-5(t)^2)j(SI) 求 t=1s 时质点的-|||-切向加速度、法向加速度和轨道曲率半径。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算速度和加速度
首先，根据给定的运动方程 $r=5ti+(15t-5{t}^{2})j$，我们计算速度和加速度。
速度 $v$ 是位置矢量 $r$ 对时间 $t$ 的一阶导数，加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即加速度 $a$ 是位置矢量 $r$ 对时间 $t$ 的二阶导数。
$$v=\frac{dr}{dt}=5i+(15-10t)j$$
$$a=\frac{dv}{dt}=-10j$$
步骤 2：计算切向加速度和法向加速度
切向加速度 ${a}_{t}$ 是加速度在速度方向上的分量，法向加速度 ${a}_{n}$ 是加速度在速度垂直方向上的分量。
$$v(1)=5i+5j$$
$$a(1)=-10j$$
切向加速度 ${a}_{t}$ 可以通过速度和加速度的点积除以速度的模来计算：
$${a}_{t}=\frac{v\cdot a}{|v|}$$
$$|v|=\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$$
$$v\cdot a=5i\cdot(-10j)+5j\cdot(-10j)=-50$$
$${a}_{t}=\frac{-50}{5\sqrt{2}}=-5\sqrt{2}$$
法向加速度 ${a}_{n}$ 可以通过加速度的模减去切向加速度的平方根来计算：
$${a}_{n}=\sqrt{{a}^{2}-{a}_{t}^{2}}$$
$$|a|=10$$
$${a}_{n}=\sqrt{{10}^{2}-{(-5\sqrt{2})}^{2}}=5\sqrt{2}$$
步骤 3：计算轨道曲率半径
轨道曲率半径 $\rho$ 可以通过速度的模的平方除以法向加速度来计算：
$$\rho=\frac{{|v|}^{2}}{{a}_{n}}$$
$$\rho=\frac{{(5\sqrt{2})}^{2}}{5\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$$
首先，根据给定的运动方程 $r=5ti+(15t-5{t}^{2})j$，我们计算速度和加速度。
速度 $v$ 是位置矢量 $r$ 对时间 $t$ 的一阶导数，加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即加速度 $a$ 是位置矢量 $r$ 对时间 $t$ 的二阶导数。
$$v=\frac{dr}{dt}=5i+(15-10t)j$$
$$a=\frac{dv}{dt}=-10j$$
步骤 2：计算切向加速度和法向加速度
切向加速度 ${a}_{t}$ 是加速度在速度方向上的分量，法向加速度 ${a}_{n}$ 是加速度在速度垂直方向上的分量。
$$v(1)=5i+5j$$
$$a(1)=-10j$$
切向加速度 ${a}_{t}$ 可以通过速度和加速度的点积除以速度的模来计算：
$${a}_{t}=\frac{v\cdot a}{|v|}$$
$$|v|=\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$$
$$v\cdot a=5i\cdot(-10j)+5j\cdot(-10j)=-50$$
$${a}_{t}=\frac{-50}{5\sqrt{2}}=-5\sqrt{2}$$
法向加速度 ${a}_{n}$ 可以通过加速度的模减去切向加速度的平方根来计算：
$${a}_{n}=\sqrt{{a}^{2}-{a}_{t}^{2}}$$
$$|a|=10$$
$${a}_{n}=\sqrt{{10}^{2}-{(-5\sqrt{2})}^{2}}=5\sqrt{2}$$
步骤 3：计算轨道曲率半径
轨道曲率半径 $\rho$ 可以通过速度的模的平方除以法向加速度来计算：
$$\rho=\frac{{|v|}^{2}}{{a}_{n}}$$
$$\rho=\frac{{(5\sqrt{2})}^{2}}{5\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$$