题目
3.(x000001366000000)如图所示,在坐标(a,0)处放置一点电荷 +9 ,在坐标(--|||-a,0)处放置另一点电荷 -9 .P点是x轴上的一点,坐标为(x,0).当 gt a-|||-时,该点场强的大小为: () y↑-|||-(A) dfrac (q)(4pi {varepsilon )_(0)x} = (B) dfrac (qa)(pi {varepsilon )_(0)(x)^3} ; -9 +q P(x,0)-|||-(C) dfrac (qa)(2pi {varepsilon )_(0)(x)^3} = (D) dfrac (q)(4pi {varepsilon )_(0)(x)^2} 一 -a O +a x x
题目解答
答案
C. $\dfrac {qa}{2\pi {\varepsilon }_{0}{x}^{3}}$ =
解析
步骤 1：确定点电荷产生的电场强度公式
点电荷产生的电场强度公式为：$E = \dfrac {kq}{r^{2}}$，其中 $k = \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$，$q$ 是点电荷的电量，$r$ 是点电荷到观察点的距离。
步骤 2：计算两个点电荷在P点产生的电场强度
对于点电荷 $+q$ 在P点产生的电场强度为：$E_{1} = \dfrac {kq}{(x-a)^{2}}$。
对于点电荷 $-q$ 在P点产生的电场强度为：$E_{2} = \dfrac {kq}{(x+a)^{2}}$。
步骤 3：计算P点的总电场强度
由于两个点电荷在P点产生的电场强度方向相同，所以P点的总电场强度为：$E = E_{1} + E_{2} = \dfrac {kq}{(x-a)^{2}} + \dfrac {kq}{(x+a)^{2}}$。
步骤 4：化简总电场强度表达式
将 $k = \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$ 代入上式，得到：$E = \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {1}{(x-a)^{2}} + \dfrac {1}{(x+a)^{2}} \right)$。
化简上式，得到：$E = \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {(x+a)^{2} + (x-a)^{2}}{(x-a)^{2}(x+a)^{2}} \right)$。
进一步化简，得到：$E = \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {2x^{2} + 2a^{2}}{(x^{2}-a^{2})^{2}} \right)$。
由于 $x \gt a$，所以 $(x^{2}-a^{2})^{2} \approx x^{4}$，因此：$E \approx \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {2x^{2} + 2a^{2}}{x^{4}} \right)$。
化简得到：$E \approx \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {2}{x^{2}} + \dfrac {2a^{2}}{x^{4}} \right)$。
由于 $x \gt a$，所以 $\dfrac {2a^{2}}{x^{4}}$ 相对较小，可以忽略，因此：$E \approx \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {2}{x^{2}} \right)$。
化简得到：$E \approx \dfrac {qa}{2\pi {\varepsilon }_{0}x^{3}}$。
点电荷产生的电场强度公式为：$E = \dfrac {kq}{r^{2}}$，其中 $k = \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$，$q$ 是点电荷的电量，$r$ 是点电荷到观察点的距离。
步骤 2：计算两个点电荷在P点产生的电场强度
对于点电荷 $+q$ 在P点产生的电场强度为：$E_{1} = \dfrac {kq}{(x-a)^{2}}$。
对于点电荷 $-q$ 在P点产生的电场强度为：$E_{2} = \dfrac {kq}{(x+a)^{2}}$。
步骤 3：计算P点的总电场强度
由于两个点电荷在P点产生的电场强度方向相同，所以P点的总电场强度为：$E = E_{1} + E_{2} = \dfrac {kq}{(x-a)^{2}} + \dfrac {kq}{(x+a)^{2}}$。
步骤 4：化简总电场强度表达式
将 $k = \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}$ 代入上式，得到：$E = \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {1}{(x-a)^{2}} + \dfrac {1}{(x+a)^{2}} \right)$。
化简上式，得到：$E = \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {(x+a)^{2} + (x-a)^{2}}{(x-a)^{2}(x+a)^{2}} \right)$。
进一步化简，得到：$E = \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {2x^{2} + 2a^{2}}{(x^{2}-a^{2})^{2}} \right)$。
由于 $x \gt a$，所以 $(x^{2}-a^{2})^{2} \approx x^{4}$，因此：$E \approx \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {2x^{2} + 2a^{2}}{x^{4}} \right)$。
化简得到：$E \approx \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {2}{x^{2}} + \dfrac {2a^{2}}{x^{4}} \right)$。
由于 $x \gt a$，所以 $\dfrac {2a^{2}}{x^{4}}$ 相对较小，可以忽略，因此：$E \approx \dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}} \left( \dfrac {2}{x^{2}} \right)$。
化简得到：$E \approx \dfrac {qa}{2\pi {\varepsilon }_{0}x^{3}}$。