某一级不可逆液相反应 (A) arrow (P)，反应速率常数 k=0.2 , (min)^-1，进料流量 v_0=10 , (L/min)，反应物 (A) 的初始浓度 c_({A)0}=2 , (mol/L)。若要求转化率达到 90%，分别计算采用平推流反应器 (PFR) 和全混流反应器 (CSTR) 所需的体积，并比较两者的体积差异及原因。

本题主要考察一级不可逆液相反应在平推流反应器（PFR）和全混流反应器（CSTR）中的体积计算，以及对两种反应器体积差异原因的理解。解题的关键在于掌握两种反应器的设计方程，并根据给定的反应速率常数、进料流量、初始浓度和转化率来计算所需的反应器体积。

1. 计算反应物A的出口浓度 $c_A$

已知反应物A的初始浓度 $c_{A0}=2 \, \text{mol/L}$，转化率 $x_A = 90\% = 0.9$。
根据转化率的定义 $x_A=\frac{c_{A0}-c_A}{c_{A0}}$，可得：
$c_A = c_{A0}(1 - x_A)=2\times(1 - 0.9)=0.2 \, \text{mol/L}$

2. 计算平推流反应器（PFR）所需体积 $V_{\text{PFR}}$

对于一级不可逆液相反应 $\text{A} \rightarrow \text{P}$，其反应速率方程为 $r_A = kc_A$。
平推流反应器的设计方程为 $V_{\text{PFR}}=\int_{c_{A0}}^{c_A}\frac{v_0}{r_A}dc_A$，将 $r_A = kc_A$ 代入可得：
$V_{\text{PFR}}=\int_{c_{A0}}^{c_A}\frac{v_0}{kc_A}dc_A$
对其进行积分：
$\begin{align*}V_{\text{PFR}}&=\frac{v_0}{k}\int_{c_{A0}}^{c_A}\frac{1}{c_A}dc_A\\&=\frac{v_0}{k}[\ln c_A]_{c_{A0}}^{c_A}\\&=\frac{v_0}{k}\ln\frac{c_A}{c_{A0}}\end{align*}$
已知 $v_0 = 10 \, \text{L/min}$，$k = 0.2 \, \text{min}^{-1}$，$c_{A0}=2 \, \text{mol/L}$，$c_A = 0.2 \, \text{mol/L}$，代入上式可得：
$V_{\text{PFR}}=\frac{10}{0.2}\ln\frac{0.2}{2}=\frac{10}{0.2}\ln\frac{1}{10}=\frac{10}{0.2}\ln 10\approx 115.13 \, \text{L}$

3. 计算全混流反应器（CSTR）所需体积 $V_{\text{CSTR}}$

全混流反应器的设计方程为 $V_{\text{CSTR}}=\frac{v_0(c_{A0}-c_A)}{r_A}$，将 $r_A = kc_A$ 代入可得：
$V_{\text{CSTR}}=\frac{v_0(c_{A0}-c_A)}{kc_A}$
将 $v_0 = 10 \, \text{L/min}$，$k = 0.2 \, \text{min}^{-1}$，$c_{A0}=2 \, \text{mol/L}$，$c_A = 0.2 \, \text{mol/L}$ 代入上式可得：
$V_{\text{CSTR}}=\frac{10\times(2 - 0.2)}{0.2\times 0.2}=\frac{10\times 1.8}{0.2\times 0.2}= 450 \, \text{L}$

4. 比较两种反应器的体积差异及原因

计算两种反应器体积的比值：
$\frac{V_{\text{CSTR}}}{V_{\text{PFR}}}=\frac{450}{115.13}\approx 3.91$
原因：在平推流反应器中，反应物沿着反应器长度方向逐渐反应，浓度从进口的 $c_{A0}$ 逐渐降低到出口的 $c_A$，在整个反应过程中，反应物浓度始终较高，反应速率也较高，因此反应效率高，所需的反应器体积较小。而在全混流反应器中，反应物和产物瞬间混合均匀，反应器内各处的反应物浓度都等于出口浓度 $c_A$，且浓度较低，导致反应速率 $r_A$ 较小，为了达到相同的转化率，就需要更大的反应器体积。