题目
有一段铁丝成半圆形 =sqrt ({a)^2-(x)^2} ,其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐-|||-标,求其质量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线的参数方程
曲线 $y=\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}$ 可以用参数方程表示为 $x=a\cos t$ 和 $y=a\sin t$，其中 $0\leqslant t\leqslant \pi$。这是因为当 $x=a\cos t$ 时，$y=\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}=\sqrt {{a}^{2}-{(a\cos t)}^{2}}=a\sin t$。
步骤 2：计算弧长微分 $ds$
根据参数方程，弧长微分 $ds$ 可以表示为 $ds=\sqrt {{(dx)}^{2}+{(dy)}^{2}}$。将 $x=a\cos t$ 和 $y=a\sin t$ 的导数代入，得到 $dx=-a\sin tdt$ 和 $dy=a\cos tdt$。因此，$ds=\sqrt {{(-a\sin t)}^{2}+{(a\cos t)}^{2}}dt=\sqrt {{a}^{2}{\sin }^{2}t+{a}^{2}{\cos }^{2}t}dt=\sqrt {{a}^{2}}dt=adt$。
步骤 3：计算质量 $M$
根据题意，线密度 $\rho(x,y)=y=a\sin t$。因此，质量 $M$ 可以表示为 $M=\int_{L}\rho(x,y)ds=\int_{0}^{\pi}a\sin t\cdot adt=\int_{0}^{\pi}{a}^{2}\sin tdt$。计算积分，得到 $M={a}^{2}\int_{0}^{\pi}\sin tdt={a}^{2}[-\cos t]_{0}^{\pi}={a}^{2}[-\cos \pi+\cos 0]={a}^{2}[1+1]=2{a}^{2}$。
曲线 $y=\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}$ 可以用参数方程表示为 $x=a\cos t$ 和 $y=a\sin t$，其中 $0\leqslant t\leqslant \pi$。这是因为当 $x=a\cos t$ 时，$y=\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}=\sqrt {{a}^{2}-{(a\cos t)}^{2}}=a\sin t$。
步骤 2：计算弧长微分 $ds$
根据参数方程，弧长微分 $ds$ 可以表示为 $ds=\sqrt {{(dx)}^{2}+{(dy)}^{2}}$。将 $x=a\cos t$ 和 $y=a\sin t$ 的导数代入，得到 $dx=-a\sin tdt$ 和 $dy=a\cos tdt$。因此，$ds=\sqrt {{(-a\sin t)}^{2}+{(a\cos t)}^{2}}dt=\sqrt {{a}^{2}{\sin }^{2}t+{a}^{2}{\cos }^{2}t}dt=\sqrt {{a}^{2}}dt=adt$。
步骤 3：计算质量 $M$
根据题意，线密度 $\rho(x,y)=y=a\sin t$。因此，质量 $M$ 可以表示为 $M=\int_{L}\rho(x,y)ds=\int_{0}^{\pi}a\sin t\cdot adt=\int_{0}^{\pi}{a}^{2}\sin tdt$。计算积分，得到 $M={a}^{2}\int_{0}^{\pi}\sin tdt={a}^{2}[-\cos t]_{0}^{\pi}={a}^{2}[-\cos \pi+\cos 0]={a}^{2}[1+1]=2{a}^{2}$。