题目
一质点沿x轴做直线运动，t时刻的坐标为x=4.5(t)^2-2(t)^3（SI），试求：（1）第2s内的平均速度；（2）第2s末的瞬时速度；（3）第2s内的路程。
一质点沿x轴做直线运动，t时刻的坐标为$x=4.5{t}^{2}-2{t}^{3}$（SI），试求：
（1）第2s内的平均速度；
（2）第2s末的瞬时速度；
（3）第2s内的路程。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算第2秒内的位移
根据题目给出的质点坐标公式$x=4.5{t}^{2}-2{t}^{3}$，我们首先计算第2秒末和第1秒末的坐标，然后求出第2秒内的位移。
第1秒末的坐标为$x_1=4.5(1)^2-2(1)^3=2.5m$。
第2秒末的坐标为$x_2=4.5(2)^2-2(2)^3=-2m$。
第2秒内的位移为$\Delta x=x_2-x_1=-2-2.5=-4.5m$。
步骤 2：计算第2秒内的平均速度
平均速度定义为位移除以时间，因此第2秒内的平均速度为$\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-4.5}{1}=-4.5m/s$。
步骤 3：计算第2秒末的瞬时速度
瞬时速度是位移对时间的导数，即$v=\frac{dx}{dt}$。根据题目给出的坐标公式，我们对$x=4.5{t}^{2}-2{t}^{3}$求导，得到$v=9t-6{t}^{2}$。将t=2代入，得到第2秒末的瞬时速度为$v_2=9(2)-6(2)^2=-6m/s$。
步骤 4：计算第2秒内的路程
路程是质点运动轨迹的长度，因此我们需要考虑质点在第2秒内的运动方向。根据瞬时速度公式$v=9t-6{t}^{2}$，我们可以判断质点在第2秒内的运动方向。当$v>0$时，质点沿正方向运动；当$v<0$时，质点沿负方向运动。在第2秒内，质点先沿正方向运动，然后沿负方向运动。因此，我们需要计算质点在第2秒内的正向位移和负向位移，然后求和得到路程。
根据瞬时速度公式，我们可以求出质点在第2秒内的正向位移和负向位移。当$v=0$时，质点的运动方向改变。将$v=0$代入瞬时速度公式，得到$9t-6{t}^{2}=0$，解得$t=0$或$t=1.5$。因此，质点在第2秒内的正向位移为$x_1=4.5(1.5)^2-2(1.5)^3=2.25m$，负向位移为$x_2=-2-2.25=-4.25m$。因此，第2秒内的路程为$s=|x_1|+|x_2|=2.25+4.25=6.5m$。
根据题目给出的质点坐标公式$x=4.5{t}^{2}-2{t}^{3}$，我们首先计算第2秒末和第1秒末的坐标，然后求出第2秒内的位移。
第1秒末的坐标为$x_1=4.5(1)^2-2(1)^3=2.5m$。
第2秒末的坐标为$x_2=4.5(2)^2-2(2)^3=-2m$。
第2秒内的位移为$\Delta x=x_2-x_1=-2-2.5=-4.5m$。
步骤 2：计算第2秒内的平均速度
平均速度定义为位移除以时间，因此第2秒内的平均速度为$\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-4.5}{1}=-4.5m/s$。
步骤 3：计算第2秒末的瞬时速度
瞬时速度是位移对时间的导数，即$v=\frac{dx}{dt}$。根据题目给出的坐标公式，我们对$x=4.5{t}^{2}-2{t}^{3}$求导，得到$v=9t-6{t}^{2}$。将t=2代入，得到第2秒末的瞬时速度为$v_2=9(2)-6(2)^2=-6m/s$。
步骤 4：计算第2秒内的路程
路程是质点运动轨迹的长度，因此我们需要考虑质点在第2秒内的运动方向。根据瞬时速度公式$v=9t-6{t}^{2}$，我们可以判断质点在第2秒内的运动方向。当$v>0$时，质点沿正方向运动；当$v<0$时，质点沿负方向运动。在第2秒内，质点先沿正方向运动，然后沿负方向运动。因此，我们需要计算质点在第2秒内的正向位移和负向位移，然后求和得到路程。
根据瞬时速度公式，我们可以求出质点在第2秒内的正向位移和负向位移。当$v=0$时，质点的运动方向改变。将$v=0$代入瞬时速度公式，得到$9t-6{t}^{2}=0$，解得$t=0$或$t=1.5$。因此，质点在第2秒内的正向位移为$x_1=4.5(1.5)^2-2(1.5)^3=2.25m$，负向位移为$x_2=-2-2.25=-4.25m$。因此，第2秒内的路程为$s=|x_1|+|x_2|=2.25+4.25=6.5m$。