题目
32-5 一物体同时参与两个同方向的简谐振动:-|||-_(1)=0.04cos (2pi t+dfrac (1)(2)pi ) (SI单位), _(2)=0.03cos (2pi t+pi ) (SI单位)-|||-求此物体的振动方程.-|||-解:
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定两个简谐振动的振幅和相位
给定的两个简谐振动方程为：
${x}_{1}=0.04\cos (2\pi t+\dfrac {1}{2}\pi )$ (SI单位)
${x}_{2}=0.03\cos (2\pi t+\pi )$ (SI单位)
从这两个方程中，我们可以看到第一个简谐振动的振幅为0.04，相位为$\dfrac {1}{2}\pi$；第二个简谐振动的振幅为0.03，相位为$\pi$。
步骤 2：将两个简谐振动的方程转换为正弦形式
由于$\cos(\theta) = \sin(\theta + \dfrac{\pi}{2})$，我们可以将两个方程转换为正弦形式：
${x}_{1}=0.04\sin (2\pi t+\pi)$
${x}_{2}=0.03\sin (2\pi t+\dfrac {3}{2}\pi)$
步骤 3：将两个简谐振动的方程相加
将两个简谐振动的方程相加，得到总振动方程：
$x = 0.04\sin (2\pi t+\pi) + 0.03\sin (2\pi t+\dfrac {3}{2}\pi)$
利用三角函数的和差化积公式，可以将上述方程化简为：
$x = A\sin(2\pi t + \phi)$
其中，$A$是合成振动的振幅，$\phi$是合成振动的相位。
步骤 4：计算合成振动的振幅和相位
根据振幅和相位的合成公式，可以计算出合成振动的振幅和相位：
$A = \sqrt{0.04^2 + 0.03^2 + 2 \cdot 0.04 \cdot 0.03 \cdot \cos(\pi - \dfrac{3}{2}\pi)} = 0.05$
$\phi = \arctan\left(\dfrac{0.04\sin(\pi) + 0.03\sin(\dfrac{3}{2}\pi)}{0.04\cos(\pi) + 0.03\cos(\dfrac{3}{2}\pi)}\right) = 2.22$
因此，合成振动的方程为：
$x = 0.05\sin(2\pi t + 2.22)$
给定的两个简谐振动方程为：
${x}_{1}=0.04\cos (2\pi t+\dfrac {1}{2}\pi )$ (SI单位)
${x}_{2}=0.03\cos (2\pi t+\pi )$ (SI单位)
从这两个方程中，我们可以看到第一个简谐振动的振幅为0.04，相位为$\dfrac {1}{2}\pi$；第二个简谐振动的振幅为0.03，相位为$\pi$。
步骤 2：将两个简谐振动的方程转换为正弦形式
由于$\cos(\theta) = \sin(\theta + \dfrac{\pi}{2})$，我们可以将两个方程转换为正弦形式：
${x}_{1}=0.04\sin (2\pi t+\pi)$
${x}_{2}=0.03\sin (2\pi t+\dfrac {3}{2}\pi)$
步骤 3：将两个简谐振动的方程相加
将两个简谐振动的方程相加，得到总振动方程：
$x = 0.04\sin (2\pi t+\pi) + 0.03\sin (2\pi t+\dfrac {3}{2}\pi)$
利用三角函数的和差化积公式，可以将上述方程化简为：
$x = A\sin(2\pi t + \phi)$
其中，$A$是合成振动的振幅，$\phi$是合成振动的相位。
步骤 4：计算合成振动的振幅和相位
根据振幅和相位的合成公式，可以计算出合成振动的振幅和相位：
$A = \sqrt{0.04^2 + 0.03^2 + 2 \cdot 0.04 \cdot 0.03 \cdot \cos(\pi - \dfrac{3}{2}\pi)} = 0.05$
$\phi = \arctan\left(\dfrac{0.04\sin(\pi) + 0.03\sin(\dfrac{3}{2}\pi)}{0.04\cos(\pi) + 0.03\cos(\dfrac{3}{2}\pi)}\right) = 2.22$
因此，合成振动的方程为：
$x = 0.05\sin(2\pi t + 2.22)$