题目
如图，入射波的波函数为=Acos (omega t-dfrac (2pi )(lambda )x)-|||-__ __，在=Acos (omega t-dfrac (2pi )(lambda )x)-|||-__ __ 处的P点发生反射，若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，求(1)反射波的波函数=Acos (omega t-dfrac (2pi )(lambda )x)-|||-__ __;(2)驻波方程y; (3)OP间因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。=Acos (omega t-dfrac (2pi )(lambda )x)-|||-__ __
如图，入射波的波函数为
，在
处的P点发生反射，若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，求
(1)反射波的波函数
;
(2)驻波方程y;
(3)OP间因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。
题目解答
答案
解：
解析
步骤 1：确定反射波的波函数
入射波的波函数为${y}_{1}=A\cos (\omega t-\dfrac {2\pi }{\lambda }x)$，在$c=\dfrac {5}{4}\lambda $ 处的P点发生反射。反射波的振幅和入射波的振幅相等，但相位差为$\pi$，因为波从波疏介质进入波密介质时，反射波相位反转。因此，反射波的波函数为${y}_{2}=A\cos (\omega t+\dfrac {2\pi }{\lambda }x+\pi)$。简化后，反射波的波函数为${y}_{2}=-A\cos (\omega t+\dfrac {2\pi }{\lambda }x)$。
步骤 2：确定驻波方程
驻波是入射波和反射波叠加的结果。将入射波和反射波的波函数相加，得到驻波方程。${y}_{1}+{y}_{2}=A\cos (\omega t-\dfrac {2\pi }{\lambda }x)-A\cos (\omega t+\dfrac {2\pi }{\lambda }x)$。利用三角函数的和差化积公式，可以将上述表达式简化为$y=2A\sin (\dfrac {2\pi }{\lambda }x)\sin (\omega t)$。
步骤 3：确定OP间因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置
驻波中，静止点（节点）的位置满足$\sin (\dfrac {2\pi }{\lambda }x)=0$。因此，$\dfrac {2\pi }{\lambda }x=n\pi$，其中$n$为整数。解得$x=\dfrac {n\lambda }{2}$。在OP间，即$x=0$到$x=\dfrac {5}{4}\lambda$，满足条件的$n$值为0，1，2。因此，静止点的位置为$x=0$，$x=\dfrac {\lambda }{2}$，$x=\lambda$。
入射波的波函数为${y}_{1}=A\cos (\omega t-\dfrac {2\pi }{\lambda }x)$，在$c=\dfrac {5}{4}\lambda $ 处的P点发生反射。反射波的振幅和入射波的振幅相等，但相位差为$\pi$，因为波从波疏介质进入波密介质时，反射波相位反转。因此，反射波的波函数为${y}_{2}=A\cos (\omega t+\dfrac {2\pi }{\lambda }x+\pi)$。简化后，反射波的波函数为${y}_{2}=-A\cos (\omega t+\dfrac {2\pi }{\lambda }x)$。
步骤 2：确定驻波方程
驻波是入射波和反射波叠加的结果。将入射波和反射波的波函数相加，得到驻波方程。${y}_{1}+{y}_{2}=A\cos (\omega t-\dfrac {2\pi }{\lambda }x)-A\cos (\omega t+\dfrac {2\pi }{\lambda }x)$。利用三角函数的和差化积公式，可以将上述表达式简化为$y=2A\sin (\dfrac {2\pi }{\lambda }x)\sin (\omega t)$。
步骤 3：确定OP间因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置
驻波中，静止点（节点）的位置满足$\sin (\dfrac {2\pi }{\lambda }x)=0$。因此，$\dfrac {2\pi }{\lambda }x=n\pi$，其中$n$为整数。解得$x=\dfrac {n\lambda }{2}$。在OP间，即$x=0$到$x=\dfrac {5}{4}\lambda$，满足条件的$n$值为0，1，2。因此，静止点的位置为$x=0$，$x=\dfrac {\lambda }{2}$，$x=\lambda$。