题目
1-3 已知一质点的运动方程为 =2t, =2-(t)^2, 式中t以s为单位,x和y-|||-以m为单位.(1)计算并图示质点的运动轨迹;(2)求出 t=1s 到 t=2s 这段时-|||-间质点的平均速度;(3)计算1s末和2s末质点的速度;(4)计算1s末和2 s-|||-末质点的加速度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算并图示质点的运动轨迹
质点的运动方程为 $x=2t$ 和 $y=2-{t}^{2}$。首先，我们可以通过消去时间变量 $t$ 来得到 $x$ 和 $y$ 之间的关系。由 $x=2t$ 可得 $t=\frac{x}{2}$，将 $t$ 的表达式代入 $y=2-{t}^{2}$ 中，得到 $y=2-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}$，即 $y=2-\frac{x^{2}}{4}$。这是一个开口向下的抛物线方程，其顶点在 $(0,2)$，开口方向向下，焦点在 $(0,1)$。
步骤 2：求出 t=1s 到 t=2s 这段时间质点的平均速度
平均速度 $\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$，其中 $\Delta x$ 是位移，$\Delta t$ 是时间间隔。当 $t=1s$ 时，$x=2m$，$y=1m$；当 $t=2s$ 时，$x=4m$，$y=-2m$。因此，$\Delta x=\sqrt{(4-2)^{2}+(-2-1)^{2}}=\sqrt{13}m$，$\Delta t=2s-1s=1s$。所以，$\overline{v}=\frac{\sqrt{13}}{1}=\sqrt{13}m/s$。
步骤 3：计算1s末和2s末质点的速度
速度 $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$，其中 $v_{x}=\frac{dx}{dt}$，$v_{y}=\frac{dy}{dt}$。由 $x=2t$ 可得 $v_{x}=2m/s$，由 $y=2-{t}^{2}$ 可得 $v_{y}=-2t$。当 $t=1s$ 时，$v_{y}=-2m/s$，$v=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{2}m/s$；当 $t=2s$ 时，$v_{y}=-4m/s$，$v=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}=2\sqrt{5}m/s$。
步骤 4：计算1s末和2s末质点的加速度
加速度 $a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$，其中 $a_{x}=\frac{dv_{x}}{dt}$，$a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt}$。由 $v_{x}=2m/s$ 可得 $a_{x}=0$，由 $v_{y}=-2t$ 可得 $a_{y}=-2m/s^{2}$。因此，$a=\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}}=2m/s^{2}$。当 $t=1s$ 和 $t=2s$ 时，加速度均为 $2m/s^{2}$。
质点的运动方程为 $x=2t$ 和 $y=2-{t}^{2}$。首先，我们可以通过消去时间变量 $t$ 来得到 $x$ 和 $y$ 之间的关系。由 $x=2t$ 可得 $t=\frac{x}{2}$，将 $t$ 的表达式代入 $y=2-{t}^{2}$ 中，得到 $y=2-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}$，即 $y=2-\frac{x^{2}}{4}$。这是一个开口向下的抛物线方程，其顶点在 $(0,2)$，开口方向向下，焦点在 $(0,1)$。
步骤 2：求出 t=1s 到 t=2s 这段时间质点的平均速度
平均速度 $\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$，其中 $\Delta x$ 是位移，$\Delta t$ 是时间间隔。当 $t=1s$ 时，$x=2m$，$y=1m$；当 $t=2s$ 时，$x=4m$，$y=-2m$。因此，$\Delta x=\sqrt{(4-2)^{2}+(-2-1)^{2}}=\sqrt{13}m$，$\Delta t=2s-1s=1s$。所以，$\overline{v}=\frac{\sqrt{13}}{1}=\sqrt{13}m/s$。
步骤 3：计算1s末和2s末质点的速度
速度 $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$，其中 $v_{x}=\frac{dx}{dt}$，$v_{y}=\frac{dy}{dt}$。由 $x=2t$ 可得 $v_{x}=2m/s$，由 $y=2-{t}^{2}$ 可得 $v_{y}=-2t$。当 $t=1s$ 时，$v_{y}=-2m/s$，$v=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{2}m/s$；当 $t=2s$ 时，$v_{y}=-4m/s$，$v=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}=2\sqrt{5}m/s$。
步骤 4：计算1s末和2s末质点的加速度
加速度 $a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$，其中 $a_{x}=\frac{dv_{x}}{dt}$，$a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt}$。由 $v_{x}=2m/s$ 可得 $a_{x}=0$，由 $v_{y}=-2t$ 可得 $a_{y}=-2m/s^{2}$。因此，$a=\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}}=2m/s^{2}$。当 $t=1s$ 和 $t=2s$ 时，加速度均为 $2m/s^{2}$。