题目
有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以 dIdt 的变化率增长．若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示，求线圈中的感应电动势．d d-|||-d-|||->||-|||-ax
有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以 dIdt 的变化率增长．若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示，求线圈中的感应电动势．
题目解答
答案
(μ0d2πln43)dIdt
解析
步骤 1：确定磁场分布
两根无限长平行直导线通以大小相等流向相反的电流，根据毕奥-萨伐尔定律，每根导线在空间中产生的磁场为：
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
其中，\( \mu_0 \) 是真空磁导率，\( I \) 是电流，\( r \) 是到导线的距离。由于两根导线电流方向相反，它们在正方形线圈所在平面内的磁场方向相反，因此在正方形线圈的中心位置，磁场相互抵消，而在其他位置，磁场叠加。
步骤 2：计算线圈中的磁通量
正方形线圈的边长为 \( d \)，因此线圈的面积 \( A = d^2 \)。线圈中心到两根导线的距离分别为 \( \frac{d}{2} \) 和 \( \frac{3d}{2} \)。线圈中的磁通量 \( \Phi \) 可以通过积分计算，但由于题目要求高精度，我们采用近似方法。线圈中的磁通量可以近似为：
\[ \Phi = \int_{\frac{d}{2}}^{\frac{3d}{2}} B \cdot dA \]
其中，\( B \) 是磁场强度，\( dA \) 是面积微元。由于磁场强度随距离变化，我们采用平均值近似：
\[ \Phi \approx \frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln \left( \frac{3}{1} \right) d^2 \]
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势 \( \mathcal{E} \) 与磁通量的变化率成正比：
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} \]
由于电流以 \( \frac{dI}{dt} \) 的变化率增长，因此：
\[ \mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln \left( \frac{3}{1} \right) d^2 \right) = -\frac{\mu_0 d^2}{2\pi} \ln \left( \frac{3}{1} \right) \frac{dI}{dt} \]
两根无限长平行直导线通以大小相等流向相反的电流，根据毕奥-萨伐尔定律，每根导线在空间中产生的磁场为：
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
其中，\( \mu_0 \) 是真空磁导率，\( I \) 是电流，\( r \) 是到导线的距离。由于两根导线电流方向相反，它们在正方形线圈所在平面内的磁场方向相反，因此在正方形线圈的中心位置，磁场相互抵消，而在其他位置，磁场叠加。
步骤 2：计算线圈中的磁通量
正方形线圈的边长为 \( d \)，因此线圈的面积 \( A = d^2 \)。线圈中心到两根导线的距离分别为 \( \frac{d}{2} \) 和 \( \frac{3d}{2} \)。线圈中的磁通量 \( \Phi \) 可以通过积分计算，但由于题目要求高精度，我们采用近似方法。线圈中的磁通量可以近似为：
\[ \Phi = \int_{\frac{d}{2}}^{\frac{3d}{2}} B \cdot dA \]
其中，\( B \) 是磁场强度，\( dA \) 是面积微元。由于磁场强度随距离变化，我们采用平均值近似：
\[ \Phi \approx \frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln \left( \frac{3}{1} \right) d^2 \]
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势 \( \mathcal{E} \) 与磁通量的变化率成正比：
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} \]
由于电流以 \( \frac{dI}{dt} \) 的变化率增长，因此：
\[ \mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln \left( \frac{3}{1} \right) d^2 \right) = -\frac{\mu_0 d^2}{2\pi} \ln \left( \frac{3}{1} \right) \frac{dI}{dt} \]