题目
3-11 一个质量为m的质点在Oxy平面上运-|||-动,其位置矢量随时间变化的关系为 =acos omega ti+bsin -|||-wtj,其中a、b和w都是常量.从质点运动和角动量定-|||-理两个方面证明此质点对坐标原点O的角动量是守-|||-恒的.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算质点的速度
质点的位置矢量随时间变化的关系为 $r=a\cos \omega t\overrightarrow {a}+b\sin \omega t\overrightarrow {j}$，其中 $\overrightarrow {a}$ 和 $\overrightarrow {j}$ 分别是沿 x 轴和 y 轴的单位矢量。根据速度的定义，速度矢量 $v$ 是位置矢量 $r$ 对时间 $t$ 的导数，即 $v=\frac{dr}{dt}$。因此，我们有：
$$
v=\frac{dr}{dt}=-a\omega\sin \omega t\overrightarrow {a}+b\omega\cos \omega t\overrightarrow {j}
$$
步骤 2：计算质点的角动量
质点对坐标原点的角动量 $L$ 是位置矢量 $r$ 和动量 $p$ 的叉乘，即 $L=r\times p$。动量 $p$ 是质量 $m$ 与速度 $v$ 的乘积，即 $p=mv$。因此，我们有：
$$
L=r\times p=r\times mv
$$
将 $r$ 和 $v$ 的表达式代入上式，得到：
$$
L=(a\cos \omega t\overrightarrow {a}+b\sin \omega t\overrightarrow {j})\times m(-a\omega\sin \omega t\overrightarrow {a}+b\omega\cos \omega t\overrightarrow {j})
$$
步骤 3：计算角动量的大小
根据叉乘的性质，$\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {a}=\overrightarrow {j}\times \overrightarrow {j}=0$，$\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {j}=-\overrightarrow {j}\times \overrightarrow {a}=\overrightarrow {k}$，其中 $\overrightarrow {k}$ 是沿 z 轴的单位矢量。因此，我们有：
$$
L=abm\omega(\cos^2 \omega t+\sin^2 \omega t)\overrightarrow {k}=abm\omega\overrightarrow {k}
$$
由于 $\cos^2 \omega t+\sin^2 \omega t=1$，所以角动量 $L$ 的大小为 $abm\omega$，是一个常量。
步骤 4：证明角动量守恒
根据角动量定理，质点的角动量对时间的变化率等于作用在质点上的外力矩，即 $\frac{dL}{dt}=M$。由于质点在 Oxy 平面上运动，且没有外力矩作用，所以 $\frac{dL}{dt}=0$，即角动量 $L$ 不随时间变化，是守恒的。
质点的位置矢量随时间变化的关系为 $r=a\cos \omega t\overrightarrow {a}+b\sin \omega t\overrightarrow {j}$，其中 $\overrightarrow {a}$ 和 $\overrightarrow {j}$ 分别是沿 x 轴和 y 轴的单位矢量。根据速度的定义，速度矢量 $v$ 是位置矢量 $r$ 对时间 $t$ 的导数，即 $v=\frac{dr}{dt}$。因此，我们有：
$$
v=\frac{dr}{dt}=-a\omega\sin \omega t\overrightarrow {a}+b\omega\cos \omega t\overrightarrow {j}
$$
步骤 2：计算质点的角动量
质点对坐标原点的角动量 $L$ 是位置矢量 $r$ 和动量 $p$ 的叉乘，即 $L=r\times p$。动量 $p$ 是质量 $m$ 与速度 $v$ 的乘积，即 $p=mv$。因此，我们有：
$$
L=r\times p=r\times mv
$$
将 $r$ 和 $v$ 的表达式代入上式，得到：
$$
L=(a\cos \omega t\overrightarrow {a}+b\sin \omega t\overrightarrow {j})\times m(-a\omega\sin \omega t\overrightarrow {a}+b\omega\cos \omega t\overrightarrow {j})
$$
步骤 3：计算角动量的大小
根据叉乘的性质，$\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {a}=\overrightarrow {j}\times \overrightarrow {j}=0$，$\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {j}=-\overrightarrow {j}\times \overrightarrow {a}=\overrightarrow {k}$，其中 $\overrightarrow {k}$ 是沿 z 轴的单位矢量。因此，我们有：
$$
L=abm\omega(\cos^2 \omega t+\sin^2 \omega t)\overrightarrow {k}=abm\omega\overrightarrow {k}
$$
由于 $\cos^2 \omega t+\sin^2 \omega t=1$，所以角动量 $L$ 的大小为 $abm\omega$，是一个常量。
步骤 4：证明角动量守恒
根据角动量定理，质点的角动量对时间的变化率等于作用在质点上的外力矩，即 $\frac{dL}{dt}=M$。由于质点在 Oxy 平面上运动，且没有外力矩作用，所以 $\frac{dL}{dt}=0$，即角动量 $L$ 不随时间变化，是守恒的。