一刚体以每分钟60 转绕z 轴做匀速转动( ω 沿z 轴正方向)．设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为r =3i+4j+5k,其单位为“10^-2 m”,若以“10^-2 m·s^-1”为速度单位,则该时刻P 点的速度为(   )A. v = 94.2i +125.6j +157.0kB. v = −25.1i +18.8jC. v = −25.1i −18.8jD. 31k.

考查要点：刚体定轴转动的速度计算，涉及角速度矢量与位置矢量的叉乘运算。

解题核心思路：

1. 确定角速度矢量：刚体绕z轴转动，角速度矢量$\boldsymbol{\omega} = \omega \mathbf{k}$，需将转速转换为弧度每秒。
2. 速度公式：刚体上某点的速度$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}$，需正确进行向量叉乘。
3. 单位处理：注意题目中位置矢量和速度的单位均为$10^{-2}$倍，计算时需保持单位一致。

破题关键点：

• 转速转换：每分钟60转对应$\omega = 2\pi \, \text{rad/s}$。
• 叉乘规则：$\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}$的分量计算需严格遵循右手法则，特别注意符号。

步骤1：计算角速度$\boldsymbol{\omega}$

刚体每分钟转60转，即每秒转1转，对应角速度：
$\omega = 2\pi \, \text{rad/s}.$
角速度矢量沿z轴正方向：
$\boldsymbol{\omega} = \omega \mathbf{k} = 2\pi \mathbf{k}.$

步骤2：写出位置矢量$\boldsymbol{r}$

点P的位置矢量为：
$\boldsymbol{r} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 5\mathbf{k} \quad (\text{单位：}10^{-2} \, \text{m}).$

步骤3：计算速度$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}$

根据向量叉乘公式：
$\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\0 & 0 & \omega \\3 & 4 & 5\end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot (0 \cdot 5 - \omega \cdot 4) - \mathbf{j} \cdot (0 \cdot 5 - \omega \cdot 3) + \mathbf{k} \cdot (0 \cdot 4 - 0 \cdot 3)$
化简得：
$\boldsymbol{v} = -4\omega \mathbf{i} + 3\omega \mathbf{j}.$

步骤4：代入数值计算

将$\omega = 2\pi$代入：
$\boldsymbol{v} = -4 \cdot 2\pi \mathbf{i} + 3 \cdot 2\pi \mathbf{j} = -8\pi \mathbf{i} + 6\pi \mathbf{j}.$
取$\pi \approx 3.1416$，计算得：
$\boldsymbol{v} \approx -25.1 \mathbf{i} + 18.8 \mathbf{j} \quad (\text{单位：}10^{-2} \, \text{m/s}).$