题目
1.5 若 =dig((a)_(11),(a)_(22),... ,(a)_(mi)) =dag((b)_(11),(b)_(22),... ,(b)_(m)), 求-|||-(1)A^2;-|||-(2)AB;-|||-(3)当 _(n)neq 0(i=1,2,... ,n) 时,验证-|||-^-1=dag(1)(a)_(11)... ,(|a|)_(min);-|||-(4)若 =((c)_(n))ntimes n 求AC与CA.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $A^2$
$A$ 是一个对角矩阵，其对角线上的元素为 ${a}_{11},{a}_{22},\cdots ,{a}_{mn}$。对角矩阵的平方等于对角线元素的平方，因此 $A^2$ 的对角线元素为 ${{a}_{11}}^{2},{{a}_{22}}^{2},\cdots ,{{a}_{mn}}^{2}$。
步骤 2：计算 $AB$
$A$ 和 $B$ 都是对角矩阵，它们的乘积 $AB$ 也是对角矩阵，其对角线元素为 ${a}_{11}{b}_{11},{a}_{22}{b}_{22},\cdots ,{a}_{mn}{b}_{mn}$。
步骤 3：验证 ${A}^{-1}$
当 ${a}_{ii}\neq 0$ 时，对角矩阵 $A$ 的逆矩阵 ${A}^{-1}$ 也是对角矩阵，其对角线元素为 $1/{a}_{11},1/{a}_{22},\cdots ,1/{a}_{mn}$。这是因为对角矩阵的逆矩阵的对角线元素是原矩阵对角线元素的倒数。
步骤 4：计算 $AC$ 和 $CA$
$A$ 是对角矩阵，$C$ 是任意矩阵。$AC$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 ${a}_{ii}{c}_{ij}$，$CA$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 ${c}_{ij}{a}_{jj}$。因此，$AC$ 和 $CA$ 的元素分别为 ${a}_{ii}{c}_{ij}$ 和 ${c}_{ij}{a}_{jj}$。
$A$ 是一个对角矩阵，其对角线上的元素为 ${a}_{11},{a}_{22},\cdots ,{a}_{mn}$。对角矩阵的平方等于对角线元素的平方，因此 $A^2$ 的对角线元素为 ${{a}_{11}}^{2},{{a}_{22}}^{2},\cdots ,{{a}_{mn}}^{2}$。
步骤 2：计算 $AB$
$A$ 和 $B$ 都是对角矩阵，它们的乘积 $AB$ 也是对角矩阵，其对角线元素为 ${a}_{11}{b}_{11},{a}_{22}{b}_{22},\cdots ,{a}_{mn}{b}_{mn}$。
步骤 3：验证 ${A}^{-1}$
当 ${a}_{ii}\neq 0$ 时，对角矩阵 $A$ 的逆矩阵 ${A}^{-1}$ 也是对角矩阵，其对角线元素为 $1/{a}_{11},1/{a}_{22},\cdots ,1/{a}_{mn}$。这是因为对角矩阵的逆矩阵的对角线元素是原矩阵对角线元素的倒数。
步骤 4：计算 $AC$ 和 $CA$
$A$ 是对角矩阵，$C$ 是任意矩阵。$AC$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 ${a}_{ii}{c}_{ij}$，$CA$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 ${c}_{ij}{a}_{jj}$。因此，$AC$ 和 $CA$ 的元素分别为 ${a}_{ii}{c}_{ij}$ 和 ${c}_{ij}{a}_{jj}$。