假定某种病菌在某地区的人口中带菌率为10%,又在检-|||-测时,带菌者呈阳性、阴性反应的概率为0.95和0.05,而不带菌者呈-|||-阳性、阴性反应的概率为0.01和0.99.某人被独立地检测3次,发现-|||-2次呈阳性反应,1次呈阴性反应.问此人为带菌者的概率是多少?

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理和二项分布的应用，涉及条件概率的计算和全概率公式的使用。

解题核心思路：

1. 确定先验概率：带菌率（$P(C)=0.1$）和不带菌率（$P(\overline{C})=0.9$）。
2. 计算似然概率：在带菌和不带菌的情况下，检测结果为“2次阳性、1次阴性”的概率，分别服从二项分布。
3. 应用全概率公式：计算观测结果$A$的总概率$P(A)$。
4. 贝叶斯更新：通过后验概率公式$P(C|A)$，结合先验概率和似然概率，得到最终结果。

破题关键点：

• 正确识别二项分布的参数：检测次数$n=3$，阳性次数$k=2$，注意带菌者和不带菌者的阳性概率不同。
• 区分分子和分母的计算：分子为带菌条件下事件$A$的概率，分母为所有可能情况下的总概率。

步骤1：定义事件与先验概率

• 设$C$表示“带菌”，$\overline{C}$表示“不带菌”，$A$表示“3次检测中2次阳性、1次阴性”。
• 先验概率：$P(C)=0.1$，$P(\overline{C})=0.9$。

步骤2：计算带菌条件下的似然概率$P(A|C)$

• 每次检测独立，符合二项分布：
  $P(A|C) = C_3^2 \cdot (0.95)^2 \cdot (0.05)^1 = 3 \cdot 0.9025 \cdot 0.05 = 0.135375.$

步骤3：计算不带菌条件下的似然概率$P(A|\overline{C})$

• 同理，二项分布计算：
  $P(A|\overline{C}) = C_3^2 \cdot (0.01)^2 \cdot (0.99)^1 = 3 \cdot 0.0001 \cdot 0.99 = 0.000297.$

步骤4：应用全概率公式计算$P(A)$

• 总概率为两种情况的加权和：
  $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|\overline{C})P(\overline{C}) = 0.135375 \cdot 0.1 + 0.000297 \cdot 0.9 = 0.0138048.$

步骤5：应用贝叶斯定理计算后验概率$P(C|A)$

• 代入公式：
  $P(C|A) = \frac{P(A|C)P(C)}{P(A)} = \frac{0.135375 \cdot 0.1}{0.0138048} \approx 0.98.$