12.斜边长为2α的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g，水的密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为____.

考查要点：本题主要考查流体静力学中平面结构所受水压力的计算，需要运用积分法求解变力做功的问题。

解题核心思路：

1. 建立坐标系：将等腰直角三角形平板放置在坐标系中，使斜边与坐标轴对齐，便于表达各点的深度和宽度。
2. 微元法：将平板分割为无数水平（或垂直）的微小条元，计算每个条元上的水压力，再积分求和。
3. 压强公式：水压力微元为 $dF = \rho g y \cdot \text{宽度} \, dy$（或 $dF = \rho g x \cdot \text{宽度} \, dx$），其中 $y$（或 $x$）为深度。

破题关键点：

• 正确表达宽度与深度的关系：等腰直角三角形的宽度随深度线性变化，需通过几何关系推导。
• 积分上下限：根据坐标系设定，确定积分变量的取值范围。

方法一：斜边位于 $x$-轴，顶点位于 $y$-轴

1. 几何关系：

   • 斜边长为 $2a$，两腰长为 $a\sqrt{2}$，高度为 $a$。
   • 深度为 $y$ 处（$0 \leq y \leq a$），宽度为 $2(a - y)$。

2. 水压力微元：
   $dF = \rho g y \cdot 2(a - y) \, dy$

3. 积分求总压力：
   $F = \int_0^a 2\rho g y(a - y) \, dy = 2\rho g \int_0^a (ay - y^2) \, dy = \frac{1}{3} \rho g a^3$

方法二：斜边位于 $y$-轴，顶点位于 $x$-轴

1. 几何关系：

   • 深度为 $x$ 处（$-a \leq x \leq 0$），宽度为 $2(a + x)$。

2. 水压力微元：
   $dF = \rho g (-x) \cdot 2(a + x) \, dx$

3. 积分求总压力：
   $F = \int_{-a}^0 2\rho g (-x)(a + x) \, dx = 2\rho g \int_{-a}^0 (-ax - x^2) \, dx = \frac{1}{3} \rho g a^3$