半径为R的均匀带电球面,带电量为Q,沿半径方向上有一均匀带电细线,线电荷密度为λ,长度为l,细线近端离球心的距离l,设球和细线上的电荷分布固定。求细线在电场中的电势能。

考查要点：本题主要考查带电体在电场中的电势能计算，涉及均匀带电球面的电势分布及线电荷在电场中的能量计算。

解题核心思路：

1. 确定电势分布：均匀带电球面在球外的电势与点电荷相同，为 $\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$；球内的电势为 $\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$。
2. 线元法计算电势能：将细线分割为无数电荷元 $dq = \lambda dx$，计算每个电荷元在球面电场中的电势能，再积分求和。
3. 忽略自身电场：题目未要求计算细线自身电荷间的相互作用能，因此只需考虑外电场（球面电荷）对细线电荷的作用。

破题关键：

• 正确应用电势公式：明确细线所在区域的电势由球面电荷产生。
• 积分上下限：细线从 $x=l$ 延伸至 $x=2l$，积分区间为 $[l, 2l]$。

步骤1：建立坐标系与线元分析

取球心为原点，细线沿径向放置，近端坐标为 $x=l$，远端为 $x=2l$（长度 $l$）。取线元 $dx$，其电荷为 $dq = \lambda dx$。

步骤2：计算线元的电势能

球面在距离 $x$ 处的电势为 $\phi_Q(x) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 x}$。
线元 $dq$ 的电势能为：
$dW = dq \cdot \phi_Q(x) = \lambda dx \cdot \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 x}.$

步骤3：积分求总电势能

对细线全长积分：
$W = \int_{l}^{2l} \frac{Q \lambda}{4\pi \varepsilon_0 x} dx = \frac{Q \lambda}{4\pi \varepsilon_0} \int_{l}^{2l} \frac{1}{x} dx.$
积分结果为：
$W = \frac{Q \lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln 2.$

未考虑自身电场的原因

题目仅要求计算细线在外电场（球面电荷）中的电势能，而细线自身电荷间的相互作用能需额外计算。由于题目未提及，故无需考虑。