题目
半径为R的均匀带电球面,带电量为Q,沿半径方向上有一均匀带电细线,线电荷密度为λ,长度为l,细线近端离球心的距离l,设球和细线上的电荷分布固定。求细线在电场中的电势能。
半径为R的均匀带电球面,带电量为Q,沿半径方向上有一均匀带电细线,线电荷密度为λ,长度为l,细线近端离球心的距离l,设球和细线上的电荷分布固定。求细线在电场中的电势能。
题目解答
答案
解:取坐标系如上图所示,在距原点为x处取线元dx,dx的电荷dq=λdx。
取无穷远处为电势零点,则dq在Q的电场中具有电势能
则细线电势能为:
未考虑带电线体自身产生的电场,why?
解析
步骤 1：确定细线在球面电场中的电势能
细线在球面电场中的电势能可以通过积分计算。首先，我们考虑细线上的一个微小电荷元dq，它在球面电场中的电势能为dW。由于球面电荷分布均匀，球面电场在球面外的电势为$\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$，其中r是球心到电荷元的距离。细线上的电荷元dq=λdx，其中λ是线电荷密度，dx是细线上的微小长度。
步骤 2：计算细线电势能
细线电势能可以通过对细线上的电荷元进行积分得到。细线的近端离球心的距离为l，细线的长度为l，因此细线上的电荷元从l到2l。细线电势能为：
$W = \int_{l}^{2l} \lambda dx \cdot \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 x} = \dfrac{Q\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \int_{l}^{2l} \dfrac{dx}{x} = \dfrac{Q\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln \left(\dfrac{2l}{l}\right) = \dfrac{Q\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln 2$
步骤 3：考虑带电线体自身产生的电场
在计算细线在球面电场中的电势能时，我们没有考虑带电线体自身产生的电场。这是因为带电线体自身产生的电场对细线的电势能没有贡献。带电线体自身产生的电场对细线上的电荷元的作用力是相互抵消的，因此对细线的电势能没有贡献。
细线在球面电场中的电势能可以通过积分计算。首先，我们考虑细线上的一个微小电荷元dq，它在球面电场中的电势能为dW。由于球面电荷分布均匀，球面电场在球面外的电势为$\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$，其中r是球心到电荷元的距离。细线上的电荷元dq=λdx，其中λ是线电荷密度，dx是细线上的微小长度。
步骤 2：计算细线电势能
细线电势能可以通过对细线上的电荷元进行积分得到。细线的近端离球心的距离为l，细线的长度为l，因此细线上的电荷元从l到2l。细线电势能为：
$W = \int_{l}^{2l} \lambda dx \cdot \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 x} = \dfrac{Q\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \int_{l}^{2l} \dfrac{dx}{x} = \dfrac{Q\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln \left(\dfrac{2l}{l}\right) = \dfrac{Q\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln 2$
步骤 3：考虑带电线体自身产生的电场
在计算细线在球面电场中的电势能时，我们没有考虑带电线体自身产生的电场。这是因为带电线体自身产生的电场对细线的电势能没有贡献。带电线体自身产生的电场对细线上的电荷元的作用力是相互抵消的，因此对细线的电势能没有贡献。