3.(单选题,20.0分)-|||-一长度为L的带电细棒,P点距离棒左端为a,电荷-|||-分布的线密度 lambda =((a-x))^2, 则P点电场强度大小为:-|||-A dfrac (L)(4pi {varepsilon )_(0)}(a-dfrac (L)(2))-|||-B dfrac (L)(4pi {varepsilon )_(0)}-|||-C 1

本题考查带电球体的电荷分布与电场强度计算，核心思路如下：

1. 总电量计算：对球体内的电荷体密度进行积分，需掌握球坐标系下的体积元素表达式。
2. 电场强度计算：利用高斯定理，结合球对称性简化计算。球内需积分求解包含在高斯面内的电荷量，球外直接使用总电量。

第（1）题：总电量计算

1. 体积元素：球坐标系中，微小体积为 $dV = 4\pi r^2 dr$。
2. 电荷体密度：$\rho(r) = k(R^2 - r^2)$。
3. 总电量公式：
   $Q = \int_0^R \rho(r) \cdot dV = 4\pi k \int_0^R (R^2 - r^2) r^2 dr$
4. 展开积分：
   $\int_0^R (R^2 r^2 - r^4) dr = \frac{R^5}{3} - \frac{R^5}{5} = \frac{2R^5}{15}$
5. 最终结果：
   $Q = 4\pi k \cdot \frac{2R^5}{15} = \frac{8\pi k R^5}{15}$

第（2）题：电场强度计算

球内（$r \leq R$）

1. 高斯面内电荷量：
   $Q_{\text{enc}} = \int_0^r \rho(r') \cdot dV = 4\pi k \int_0^r (R^2 r'^2 - r'^4) dr'$
2. 积分计算：
   $Q_{\text{enc}} = 4\pi k \left( \frac{R^2 r^3}{3} - \frac{r^5}{5} \right)$
3. 高斯定律：
   $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{k}{\varepsilon_0} \left( \frac{R^2 r}{3} - \frac{r^3}{5} \right)$
4. 化简：
   $E_{\text{内}} = \frac{k}{15\varepsilon_0} r \left(5R^2 - 3r^2\right)$

球外（$r > R$）

1. 总电量代入高斯定律：
   $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$
2. 代入总电量：
   $E_{\text{外}} = \frac{2k R^5}{15\varepsilon_0 r^2}$