题目
1.3.6 ) 附图中均匀带电圆环的半径为R,总电荷为q.-|||-(1)求轴线上离环心O为x处的电场强度E;-|||-(2)轴线上何处电场强度最大?其值是多少?-|||-(3)大致画出 E-x 曲线.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆环上电荷元产生的电场
圆环上任意一点的电荷元为dq，它在轴线上x处产生的电场强度为dE。根据库仑定律，dE的大小为：
$$ dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} $$
其中，r是电荷元到x处的距离，对于轴线上x处的点，r = $\sqrt{x^2 + R^2}$。由于圆环对称，电场强度的方向沿轴线方向，因此dE的方向为x方向。
步骤 2：计算总电场强度
圆环上所有电荷元在x处产生的电场强度的总和为E，即：
$$ E = \int dE = \int \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{x^2 + R^2} $$
由于dq = $\frac{q}{2\pi R} d\theta$，其中q是圆环的总电荷，R是圆环的半径，dθ是圆环上电荷元对应的圆心角。因此，总电场强度为：
$$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{2\pi R} \int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{x^2 + R^2} $$
由于积分与θ无关，积分结果为2π，因此：
$$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{x^2 + R^2} $$
步骤 3：确定电场强度最大值
为了找到电场强度最大值，我们需要对E关于x求导，并令导数等于0。即：
$$ \frac{dE}{dx} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-2qx}{(x^2 + R^2)^2} = 0 $$
解得x = 0，即电场强度最大值出现在圆环中心处。此时，电场强度为：
$$ E_{max} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{R^2} $$
步骤 4：画出E-x曲线
E-x曲线是一个关于x的偶函数，当x = 0时，E取最大值，随着x的增大，E逐渐减小，当x趋于无穷大时，E趋于0。因此，E-x曲线是一个在x = 0处达到最大值的偶函数曲线。
圆环上任意一点的电荷元为dq，它在轴线上x处产生的电场强度为dE。根据库仑定律，dE的大小为：
$$ dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} $$
其中，r是电荷元到x处的距离，对于轴线上x处的点，r = $\sqrt{x^2 + R^2}$。由于圆环对称，电场强度的方向沿轴线方向，因此dE的方向为x方向。
步骤 2：计算总电场强度
圆环上所有电荷元在x处产生的电场强度的总和为E，即：
$$ E = \int dE = \int \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{x^2 + R^2} $$
由于dq = $\frac{q}{2\pi R} d\theta$，其中q是圆环的总电荷，R是圆环的半径，dθ是圆环上电荷元对应的圆心角。因此，总电场强度为：
$$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{2\pi R} \int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{x^2 + R^2} $$
由于积分与θ无关，积分结果为2π，因此：
$$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{x^2 + R^2} $$
步骤 3：确定电场强度最大值
为了找到电场强度最大值，我们需要对E关于x求导，并令导数等于0。即：
$$ \frac{dE}{dx} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-2qx}{(x^2 + R^2)^2} = 0 $$
解得x = 0，即电场强度最大值出现在圆环中心处。此时，电场强度为：
$$ E_{max} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{R^2} $$
步骤 4：画出E-x曲线
E-x曲线是一个关于x的偶函数，当x = 0时，E取最大值，随着x的增大，E逐渐减小，当x趋于无穷大时，E趋于0。因此，E-x曲线是一个在x = 0处达到最大值的偶函数曲线。