题目

.9 习题 .9 图所示圆轴的粗段外径为100mm,内径为-|||-80mm,细段直径为80mm,在轮A处由电动机带动,输入功-|||-率 _(1)=150kW ,在轮B、C处分别负载 _(2)=75kw 、_(3)=75kW,-|||-已知轴的转速为 /min-|||-(1)作圆轴的扭矩图;(2)求该空心轴及实心轴的最大切应力。-|||-A B (

题目解答

答案

解析

考察知识

扭矩图绘制、轴的最大切应力计算（空心轴与实心轴）。

解题思路及步骤

步骤1：计算轴的转速与外力偶矩

轴的转速 $n = 300 \, \text{r/min}$，角速度 $\omega = \frac{2\pi n}{60} = 10\pi \, \text{rad/s}$。
外力偶矩公式：$T = \frac{P}{ω}$（$P$ 为功率，单位kW需换算为W）。

  • 轮A输入功率 $P_1 = 150 \, \text{kW} = 150000 \, \text{W}$，则 $T_1 = \frac{150000}{10\pi} \approx 4774.6 \, \text{N·m}$
  • 轮B负载 $P_2 = 75 \, \text{kW} = 75000 \, \text{W}$，则 $T_2 = \frac{75000}{10\pi} \approx 2387.3 \, \text{N·m}$
  • 轮C负载 $P_3 = 75 \, \text{kW}$，则 $T_3 = T_2 \approx 2387.3 \, \text{N·m}$

步骤2：分段计算扭矩并绘制扭矩图

轴分两段：

  • AB段（空心轴）：扭矩 $T_{\text{AB}} = T_1 - T_2 = 4774.6 - 2387.3 \approx 2387.3 \, \text{N·m}$（顺时针）
  • BC段（实心轴）：扭矩 $T_{\text{BC}} = T_3 \approx 2387.3 \, \text{N·m}$（顺时针）

扭矩图：AB段扭矩 $2387.3 \, \text{N·m}$，BC段扭矩 $2387.3 \, \text{N·m}$。

步骤3：计算最大切应力

切应力公式：

  • 空心轴（AB段）：$\tau_{\text{max,h}} = \frac{T_{\text{AB}} \cdot D}{W_p}$，其中 $W_p = \frac{\pi (D^4 - d^4)}{16D}$（抗扭截面系数），$D = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}$，$d = 80 \, \text{mm} = 0.08 \, \text{m}$。
    代入得：
    $\tau_{\text{max,h}} = \frac{16T_{\text{AB}}}{\pi (D^4 - d^4)/D} = \frac{16 \times 2387.3}{\pi (0.1^4 - 0.08^4)/0.1} \approx 41.1 \, \text{MPa}$

  • 实心轴（BC段）：$\tau_{\text{max,s}} = \frac{T_{\text{BC}} \cdot d}{W_p}$，$W_p = \frac{\pi d^3}{16}$，$d = 80 \, \text{mm} = 0.08 \, \text{m}$。
    代入得：
    $\tau_{\text{max,s}} = \frac{16T_{\text{BC}}}{\pi d^3} = \frac{16 \times 2387.3}{\pi (0.08)^3} \approx 23.8 \, \text{MPa}$