题目
10.11 两个半径各为a和b的金属球,用-|||-细导线相连,它们间的距离比它们自身的线度-|||-大得多。今给此系统带上电荷Q求:(1)留在每-|||-个球上的电荷;(2)此系统的电容。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷分配
由于两个金属球通过细导线相连，它们的电势相等。设两个球上的电荷分别为${q}_{1}$和${q}_{2}$，则有${q}_{1}+{q}_{2}=Q$。根据电势相等的条件，有$\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}a}=\dfrac {{q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}b}$，即$\dfrac {{q}_{1}}{a}=\dfrac {{q}_{2}}{b}$。联立这两个方程，可以解出${q}_{1}$和${q}_{2}$。
步骤 2：计算电荷
由$\dfrac {{q}_{1}}{a}=\dfrac {{q}_{2}}{b}$，得${q}_{2}=\dfrac {b{q}_{1}}{a}$。将${q}_{2}$代入${q}_{1}+{q}_{2}=Q$，得${q}_{1}+\dfrac {b{q}_{1}}{a}=Q$，即${q}_{1}(1+\dfrac {b}{a})=Q$，从而${q}_{1}=\dfrac {aQ}{a+b}$。同理，${q}_{2}=\dfrac {bQ}{a+b}$。
步骤 3：计算电容
电容$C$定义为电荷$Q$与电势差$V$的比值，即$C=\dfrac {Q}{V}$。由于两个球的电势相等，电势差$V$为零，但我们可以考虑系统整体的电容。对于两个球，电容$C$可以表示为$C=\dfrac {Q}{V}=\dfrac {Q}{\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}a}+\dfrac {{q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}b}}$。将${q}_{1}$和${q}_{2}$的值代入，得$C=\dfrac {Q}{\dfrac {aQ}{4\pi {\varepsilon }_{0}a(a+b)}+\dfrac {bQ}{4\pi {\varepsilon }_{0}b(a+b)}}=\dfrac {Q}{\dfrac {Q}{4\pi {\varepsilon }_{0}(a+b)}}=4\pi {\varepsilon }_{0}(a+b)$。
由于两个金属球通过细导线相连，它们的电势相等。设两个球上的电荷分别为${q}_{1}$和${q}_{2}$，则有${q}_{1}+{q}_{2}=Q$。根据电势相等的条件，有$\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}a}=\dfrac {{q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}b}$，即$\dfrac {{q}_{1}}{a}=\dfrac {{q}_{2}}{b}$。联立这两个方程，可以解出${q}_{1}$和${q}_{2}$。
步骤 2：计算电荷
由$\dfrac {{q}_{1}}{a}=\dfrac {{q}_{2}}{b}$，得${q}_{2}=\dfrac {b{q}_{1}}{a}$。将${q}_{2}$代入${q}_{1}+{q}_{2}=Q$，得${q}_{1}+\dfrac {b{q}_{1}}{a}=Q$，即${q}_{1}(1+\dfrac {b}{a})=Q$，从而${q}_{1}=\dfrac {aQ}{a+b}$。同理，${q}_{2}=\dfrac {bQ}{a+b}$。
步骤 3：计算电容
电容$C$定义为电荷$Q$与电势差$V$的比值，即$C=\dfrac {Q}{V}$。由于两个球的电势相等，电势差$V$为零，但我们可以考虑系统整体的电容。对于两个球，电容$C$可以表示为$C=\dfrac {Q}{V}=\dfrac {Q}{\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}a}+\dfrac {{q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}b}}$。将${q}_{1}$和${q}_{2}$的值代入，得$C=\dfrac {Q}{\dfrac {aQ}{4\pi {\varepsilon }_{0}a(a+b)}+\dfrac {bQ}{4\pi {\varepsilon }_{0}b(a+b)}}=\dfrac {Q}{\dfrac {Q}{4\pi {\varepsilon }_{0}(a+b)}}=4\pi {\varepsilon }_{0}(a+b)$。