题目
9.某物体的运动规律为 /dt=-k(v)^2t ,式中的k为大于零的常量.当 t=0 时,-|||-初速为v0,则速度v与时间t的函数关系是 ()-|||-A. =dfrac (1)(2)k(t)^2+(v)_(0) : B. =-dfrac (1)(2)k(t)^2+(v)_(0) ;-|||-C. dfrac (1)(v)=dfrac (k{t)^2}(2)+dfrac (1)({v)_(0)} ; D. dfrac (1)(v)=-dfrac (k{t)^2}(2)+dfrac (1)({v)_(0)} .
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
给定的微分方程为 $dv/dt=-k{v}^{2}t$。首先，我们分离变量，将v和t分别放在方程的两边。
$$\frac{1}{v^2}dv=-kt\,dt$$
步骤 2：积分
对两边进行积分，左边对v积分，右边对t积分。
$$\int \frac{1}{v^2}dv=\int -kt\,dt$$
$$-\frac{1}{v}=-\frac{1}{2}kt^2+C$$
其中，C是积分常数。
步骤 3：确定常数C
根据初始条件，当t=0时，v=v0，代入上式求解C。
$$-\frac{1}{v_0}=-\frac{1}{2}k(0)^2+C$$
$$C=-\frac{1}{v_0}$$
步骤 4：代入常数C，得到v与t的关系
将C代入步骤2得到的方程中，得到v与t的关系。
$$-\frac{1}{v}=-\frac{1}{2}kt^2-\frac{1}{v_0}$$
$$\frac{1}{v}=\frac{1}{2}kt^2+\frac{1}{v_0}$$
给定的微分方程为 $dv/dt=-k{v}^{2}t$。首先，我们分离变量，将v和t分别放在方程的两边。
$$\frac{1}{v^2}dv=-kt\,dt$$
步骤 2：积分
对两边进行积分，左边对v积分，右边对t积分。
$$\int \frac{1}{v^2}dv=\int -kt\,dt$$
$$-\frac{1}{v}=-\frac{1}{2}kt^2+C$$
其中，C是积分常数。
步骤 3：确定常数C
根据初始条件，当t=0时，v=v0，代入上式求解C。
$$-\frac{1}{v_0}=-\frac{1}{2}k(0)^2+C$$
$$C=-\frac{1}{v_0}$$
步骤 4：代入常数C，得到v与t的关系
将C代入步骤2得到的方程中，得到v与t的关系。
$$-\frac{1}{v}=-\frac{1}{2}kt^2-\frac{1}{v_0}$$
$$\frac{1}{v}=\frac{1}{2}kt^2+\frac{1}{v_0}$$