一个在一维势箱中运动的粒子，其能级差 En+1-En随着势箱长度的增大A. 越来越大B. 越来越小C. 不变D. 无法判断

考查要点：本题主要考查一维无限深势箱中粒子能级差随势箱长度变化的规律，需要掌握能级公式及其物理意义。

解题核心思路：

1. 回忆一维势箱能级公式：$E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$，其中$L$为势箱长度，$n$为量子数。
2. 计算相邻能级差：$\Delta E_{n+1,n} = E_{n+1} - E_n$，展开后分析其与$L$的关系。
3. 判断变化趋势：通过公式推导可知，能级差与$L^2$成反比，因此$L$增大时，$\Delta E$会减小。

破题关键点：

• 明确能级公式中$L$的依赖关系，尤其是分母中的$L^2$。
• 正确展开相邻能级差的表达式，提取与$L$相关的因子。

步骤1：写出能级公式

一维无限深势箱中，粒子的能级为：
$E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2},$
其中$n=1,2,3,\dots$，$L$为势箱长度，$m$为粒子质量，$h$为普朗克常数。

步骤2：计算相邻能级差

相邻能级$n$与$n+1$的差值为：
$\begin{aligned}\Delta E_{n+1,n} &= E_{n+1} - E_n \\&= \frac{(n+1)^2 h^2}{8mL^2} - \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \\&= \frac{[(n+1)^2 - n^2] h^2}{8mL^2} \\&= \frac{(2n+1) h^2}{8mL^2}.\end{aligned}$

步骤3：分析$L$对$\Delta E$的影响

由$\Delta E_{n+1,n} = \frac{(2n+1) h^2}{8mL^2}$可知：

• 分子为常数（与$L$无关），分母为$L^2$。
• 当$L$增大时，分母增大，整个表达式的值减小。
  因此，能级差$\Delta E_{n+1,n}$随$L$增大而减小。