一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成,内、外圆-|||-筒半径分别为 _(1)=2cm . _(2)=5cm, 期间充满相对-|||-介电常量。的各向同性、均匀电介质。电容器接在-|||-电压 =32V 的电源上,(如图所示),试求距离-|||-轴线 R=3.5cm 处的A点的电场强度和A点与外筒间-|||-的电势差。-|||-R 2 R1-|||-R U-|||-A

本题考查同轴圆柱电容器中电场强度和电势差的计算，核心思路是利用高斯定理求电场强度，再通过积分计算电势差。关键点在于：

1. 介质存在时电场强度的修正：电场强度公式需包含介电常量 $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$；
2. 电势差的积分计算：总电压由内筒到外筒的积分确定，A点与外筒的电势差需单独积分。

电场强度的计算

1. 高斯定理求电场
   在半径 $r$ 处作同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理得：
   $\oint \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = \lambda L \quad \Rightarrow \quad 2\pi r L \varepsilon \varepsilon_r E = \lambda L$
   解得电场强度：
   $E(r) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon \varepsilon_r r}$
   其中 $\varepsilon = \varepsilon_0$，$\lambda$ 为单位长度电荷量。

2. 总电压与 $\lambda$ 的关系
   电容器总电压 $U$ 对应内筒到外筒的电势差：
   $U = \int_{R_1}^{R_2} E(r) dr = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon \varepsilon_r} \ln\frac{R_2}{R_1}$
   解得：
   $\lambda = \frac{2\pi \varepsilon \varepsilon_r U}{\ln\frac{R_2}{R_1}}$

3. 代入 $\lambda$ 求 $E(r)$
   将 $\lambda$ 代入电场强度公式：
   $E(r) = \frac{U}{r \ln\frac{R_2}{R_1}}$

A点与外筒的电势差

1. 积分计算电势差
   A点与外筒的电势差为：
   $U_A = \int_{R}^{R_2} E(r) dr = \frac{U}{\ln\frac{R_2}{R_1}} \ln\frac{R_2}{R}$
   其中 $R = 3.5 \, \text{cm}$。