题目
一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成,内、外圆-|||-筒半径分别为 _(1)=2cm . _(2)=5cm, 期间充满相对-|||-介电常量。的各向同性、均匀电介质。电容器接在-|||-电压 =32V 的电源上,(如图所示),试求距离-|||-轴线 R=3.5cm 处的A点的电场强度和A点与外筒间-|||-的电势差。-|||-R 2 R1-|||-R U-|||-A
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电容器的电场分布
电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为 ${R}_{1}=2cm$，外筒半径为 ${R}_{2}=5cm$。在两圆筒之间充满相对介电常量为 ${\varepsilon }_{r}$ 的均匀电介质。电容器接在电压 $U=32V$ 的电源上。根据高斯定理，电场强度 $E$ 与距离轴线的距离 $r$ 成反比，即 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}r}$，其中 $\lambda$ 为单位长度上的电荷量，${\varepsilon }_{0}$ 为真空介电常量，${\varepsilon }_{r}$ 为相对介电常量。
步骤 2：计算单位长度上的电荷量 $\lambda$
电容器的电压 $U$ 与电场强度 $E$ 的关系为 $U={\int }_{{R}_{1}}^{{R}_{2}}Edr$。将 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}r}$ 代入上式，得到 $U=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}}\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}$。由此可以解出单位长度上的电荷量 $\lambda =\dfrac {2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}U}{\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}$。
步骤 3：计算距离轴线 $R=3.5cm$ 处的电场强度 $E$
将 $\lambda =\dfrac {2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}U}{\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}$ 代入 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}r}$，得到 $E=\dfrac {U}{r\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}$。将 $U=32V$，$r=3.5cm$，${R}_{1}=2cm$，${R}_{2}=5cm$ 代入上式，得到 $E=\dfrac {32}{3.5\ln \dfrac {5}{2}}\approx 11.4V/m$。
步骤 4：计算A点与外筒间的电势差
A点与外筒间的电势差 $U_{AB}$ 为 $U_{AB}={\int }_{R}^{{R}_{2}}Edr$。将 $E=\dfrac {U}{r\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}$ 代入上式，得到 $U_{AB}=\dfrac {U}{\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}\ln \dfrac {{R}_{2}}{R}$。将 $U=32V$，$R=3.5cm$，${R}_{1}=2cm$，${R}_{2}=5cm$ 代入上式，得到 $U_{AB}=\dfrac {32}{\ln \dfrac {5}{2}}\ln \dfrac {5}{3.5}\approx 12.5V$。
电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为 ${R}_{1}=2cm$，外筒半径为 ${R}_{2}=5cm$。在两圆筒之间充满相对介电常量为 ${\varepsilon }_{r}$ 的均匀电介质。电容器接在电压 $U=32V$ 的电源上。根据高斯定理，电场强度 $E$ 与距离轴线的距离 $r$ 成反比，即 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}r}$，其中 $\lambda$ 为单位长度上的电荷量，${\varepsilon }_{0}$ 为真空介电常量，${\varepsilon }_{r}$ 为相对介电常量。
步骤 2：计算单位长度上的电荷量 $\lambda$
电容器的电压 $U$ 与电场强度 $E$ 的关系为 $U={\int }_{{R}_{1}}^{{R}_{2}}Edr$。将 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}r}$ 代入上式，得到 $U=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}}\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}$。由此可以解出单位长度上的电荷量 $\lambda =\dfrac {2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}U}{\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}$。
步骤 3：计算距离轴线 $R=3.5cm$ 处的电场强度 $E$
将 $\lambda =\dfrac {2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}U}{\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}$ 代入 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}{\varepsilon }_{r}r}$，得到 $E=\dfrac {U}{r\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}$。将 $U=32V$，$r=3.5cm$，${R}_{1}=2cm$，${R}_{2}=5cm$ 代入上式，得到 $E=\dfrac {32}{3.5\ln \dfrac {5}{2}}\approx 11.4V/m$。
步骤 4：计算A点与外筒间的电势差
A点与外筒间的电势差 $U_{AB}$ 为 $U_{AB}={\int }_{R}^{{R}_{2}}Edr$。将 $E=\dfrac {U}{r\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}$ 代入上式，得到 $U_{AB}=\dfrac {U}{\ln \dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}\ln \dfrac {{R}_{2}}{R}$。将 $U=32V$，$R=3.5cm$，${R}_{1}=2cm$，${R}_{2}=5cm$ 代入上式，得到 $U_{AB}=\dfrac {32}{\ln \dfrac {5}{2}}\ln \dfrac {5}{3.5}\approx 12.5V$。