如图长直电流 I 旁有一与它共面的长方形平面如果电流 I= ( 1 ) 通过长方形线框的磁通量 ; ( 2 ) 长方形线框中产生的感应电动势

考查要点：本题主要考查无限长直导线的磁场计算、磁通量的积分方法以及法拉第电磁感应定律的应用。

解题核心思路：

1. 磁场计算：利用无限长直导线的磁场公式 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}$，其中 $x$ 是空间点到导线的距离。
2. 磁通量计算：对长方形线框区域积分，将磁场 $B$ 与面积元 $dS$ 相乘，累加得到总磁通量。
3. 感应电动势计算：根据法拉第电磁感应定律 $E = -\dfrac{d\Phi}{dt}$，对时间求导并结合电流的时间依赖性 $I = I_0 \cos \omega t$。

破题关键点：

• 积分变量与范围：明确线框的位置（距离导线 $a$ 到 $a+b$），积分变量为 $x$，范围为 $[a, a+b]$。
• 符号处理：对 $\cos \omega t$ 求导时注意负号，最终结果需结合楞次定律判断电动势方向。

第（1）题：通过长方形线框的磁通量

磁场公式

无限长直导线产生的磁场为：
$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}$
其中 $x$ 是空间点到导线的距离。

磁通量积分

线框宽度为 $a$，长度方向沿 $x$ 轴从 $a$ 到 $a+b$，面积元为 $dS = a \, dx$。总磁通量为：
$\Phi = \int_{a}^{a+b} B \cdot dS = \int_{a}^{a+b} \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x} \cdot a \, dx$

积分计算

$\Phi = \dfrac{\mu_0 I a}{2\pi} \int_{a}^{a+b} \dfrac{1}{x} dx = \dfrac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln \dfrac{a+b}{a}$

代入时间依赖性

电流 $I = I_0 \cos \omega t$，因此：
$\Phi = \dfrac{\mu_0 I_0 a}{2\pi} \ln \dfrac{a+b}{a} \cos \omega t$

第（2）题：长方形线框中产生的感应电动势

法拉第电磁感应定律

感应电动势为：
$E = -\dfrac{d\Phi}{dt}$

对时间求导

$E = -\dfrac{\mu_0 I_0 a}{2\pi} \ln \dfrac{a+b}{a} \cdot (-\omega I_0 \sin \omega t) = \dfrac{\mu_0 I_0 a \omega}{2\pi} \ln \dfrac{a+b}{a} \sin \omega t$

方向判断

• 当 $E > 0$ 时，电动势方向为顺时针；
• 当 $E < 0$ 时，电动势方向为逆时针。