一无限大均匀带电平面, 开有一半径为 mathbf(R) 的圆洞, 电荷面密度为 sigma, 求这洞的正交轴线上离洞心为 h 处的场强。

考查要点：本题主要考查电场叠加原理的应用，以及无限大均匀带电平面和均匀带电圆盘轴线上的电场强度公式的综合运用。

解题核心思路：
将带圆洞的无限大平面分解为两个电荷分布的叠加：

1. 完整无限大平面（电荷面密度为$\sigma$）；
2. 带负电的圆盘（电荷面密度为$-\sigma$，半径为$R$）。
   通过分别计算两部分在轴线上的场强，再进行矢量叠加，最终得到总场强。

破题关键点：

• 分解电荷分布：将实际问题转化为两个理想模型的叠加。
• 正确应用场强公式：无限大平面的场强为$E_{\text{平面}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$，圆盘的场强公式为$E_{\text{圆盘}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{h^2 + R^2}} \right)$。
• 方向分析：圆盘的场强方向与平面场强方向相反，需注意符号处理。

步骤1：分解电荷分布

将带圆洞的平面视为无限大平面（$\sigma$）与带负电圆盘（$-\sigma$）的叠加。圆洞区域的电荷密度为$\sigma - \sigma = 0$，周围区域仍保持$\sigma$。

步骤2：计算无限大平面的场强

无限大均匀带电平面在轴线上的场强为：
$E_{\text{平面}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$
方向垂直于平面（沿$z$轴正方向，若$\sigma > 0$）。

步骤3：计算带电圆盘的场强

带电圆盘（面密度$-\sigma$）在轴线上距离$h$处的场强为：
$E_{\text{圆盘}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{h^2 + R^2}} \right)$
方向与平面场强方向相反（沿$z$轴负方向，若$\sigma > 0$）。

步骤4：叠加总场强

总场强为两部分场强的矢量和：
$E = E_{\text{平面}} - E_{\text{圆盘}}$
代入公式得：
$E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{h^2 + R^2}} \right) = \frac{\sigma h}{2\epsilon_0 \sqrt{h^2 + R^2}}$

步骤5：确定场强方向

若$\sigma > 0$，总场强方向沿$z$轴正方向；若$\sigma < 0$，方向沿$z$轴负方向。